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Table des matières Préface de Claude Allègre ..................................

Table des matières Préface de Claude Allègre .............................................................. 5 Première partie 1. Un monde d’illusions 9 Deuxième partie - Les géométries de la nature 2. Les géométries de la nature d’Euclide à la relativité d’échelle 15 2.1. La géométrie apparente de notre monde, la géométrie plate d’Euclide .................................................. 15 2.2. Le livre de la nature est écrit en langage mathématique ...... 16 2.3. De Galilée à Einstein, l’espace-temps devient courbe........ 17 2.4. Le développement parallèle de la mécanique quantique .... 20 2.5. D’Appolonius de Perge à Mandelbrot, des objets mathématiques non identifiés à l’invention du terme fractal ................................................ 22 2.5.1. La baderne d’Appolonius .......................................... 22 2.5.2. Les fractales mathématiques, des OMNI, des objets mathématiques non identifiés ................ 23 2.5.3. Les mathématiques ne peuvent décrire la nature complexe : l’intuition de Jean Perrin ...... 24 2.5.4. La théorie fondamentale des itérations : Fatou et Julia ................................................................ 24 2.5.5. La dynamique non linéaire ........................................ 25 2.5.6. Mandelbrot, un mathématicien des objets irréguliers… .............. 26 La longueur de la côte de Bretagne................................ 27 La structure fractale.......................................................... 28 Fractales et dynamique non linéaire.............................. 29 Le concept miroir des fractales, les constructales ........ 29 2.6. Avec Nottale, l’espace-temps courbe devient aussi fractal .... 30 Troisième partie - Les lois de la nature 3. Déterminisme, hasard, complexité, chaos… 35 3.1. Le déterminisme ...................................................................... 35 3.2. Le hasard .................................................................................. 36 3.3. Le chaos déterministe : l’effet papillon ................................ 39 3.4. Introduction de la notion de fractal ...................................... 41 4. Les fractales 43 4.1. Les notions de mesures et de dimension ............................ 43 4.2. Mesure et dimension d’Hausdorff ........................................ 45 4.3. Les ensembles fractals ............................................................ 46 4.3.1. L’ensemble triadique ou poussière de Cantor, une recette simple pour fabriquer des fractales ...... 47 4.3.2. Quelques exemples classiques d’ensembles fractals .................................................... 49 La courbe de Von Koch, le flocon de neige .................. 49 La courbe de Peano .......................................................... 51 Le triangle de Sierpinski .................................................. 52 4.4. Le monde magique des itérations ........................................ 54 4.4.1. Aspect ludique des fractales ...................................... 54 4.4.2. Les attracteurs de Julia, Fatou et de Mandelbrot .............................................. 55 5. Les systèmes dynamiques, les espaces de phase, les attracteurs étranges 57 5.1. Les systèmes dynamiques ...................................................... 57 5.1.1. L’oscillateur harmonique............................................ 57 5.1.2. Le pendule simple ...................................................... 59 5.1.3. Oscillateurs harmoniques couplés............................ 60 5.1.4. Systèmes avec champs de force central et non central .................................. 60 5.1.5. Résumé des propriétés des exemples de systèmes mécaniques précédents ........................ 63 5.1.6. Le phénomène d’attraction ........................................ 63 5.1.7. Contraction des aires, deux conséquences fondamentales .......................... 65 5.2. Attracteurs apériodiques, régime chaotique, attracteurs étranges.................................................................. 65 5.3. Fonctions de corrélation, exposants de Lyapunov ............ 67 5.3.1. Recherche pratique d’un attracteur et de sa dimension ...................................................... 67 5.3.2. Exposé de la méthode dite de corrélation .............. 69 5.3.3. Les exposants de Lyapunov ...................................... 71 308 Table des matières 5.4. Le chaos .................................................................................... 72 5.4.1. Un exemple de chaos .................................................. 72 5.4.2. Définition du chaos .................................................... 74 5.5. Instabilités, auto-organisation des systèmes dynamiques ...................................................... 74 5.5.1. L’exemple du tas de sable .......................................... 75 5.5.2. Les glissements de terrain et les avalanches en montagne .................................. 77 5.5.3. La sismicité .................................................................. 77 5.5.4. Les éruptions volcaniques.......................................... 78 5.5.5. La sensiblilité aux conditions initiales...................... 78 5.5.6. Le billard de Sinaï........................................................ 78 5.5.7. Contrôle du chaos........................................................ 79 5.6. Conclusion sur les systèmes dynamiques............................ 80 6. D’où viennent les fractales ? L ’explication de la théorie de la relativité d’échelle 83 6.1. La théorie de la relativité d’échelle et l’origine des fractales .......................................................... 83 6.2. L’échelle des échelles de la nature ........................................ 87 Quatrième partie - Les fractales dans la nature 7. Les fractales dans l’univers 93 7.1. Cosmologie fractale ................................................................ 93 7.2. La solution du paradoxe d’Olbers ........................................ 94 7.3. Les vitesses relatives des paires de galaxies........................ 96 7.4. La répartition des vitesses des planètes et leur répartition dans le système solaire .......................... 96 7.5. La répartition des exoplanètes hors du système solaire .......................................................... 99 7.6. Les structures galactiques .................................................... 100 7.7. Les pics de probabilité des morphologies des enveloppes d’étoiles ...................................................... 101 7.8. Les pics de probabilité des morphologies des étoiles ........ 103 7.9. La répartition des cratères de la Lune ................................ 103 8. Les fractales dans le monde inorganique 107 8.1. Les fractales en physique...................................................... 107 8.2. Les fractales en turbulence : structure multi-échelle et intermittente de la turbulence.......................................... 110 8.3. Les claquages et décharges électriques .............................. 113 8.4. Les multifractales .................................................................. 114 8.5. Les modèles d’agrégation limités par la diffusion............ 117 Table des matières 309 9. Les fractales en géosciences 121 9.1. Découverte de structures fractales en physique du globe.... 121 9.2. La fragmentation et la fracturation des roches, la tectonique............................................................................ 125 9.2.1. La fragmentation des roches.................................... 125 9.2.2. Étude de la distribution des fragments.................. 126 9.2.3. Modélisation de la fragmentation .......................... 126 9.2.4. La fracturation des roches et la tectonique............ 128 9.3. Les séismes.............................................................................. 131 9.3.1. Application à l'étude de la sismicité. Loi de Gutenberg-Richter ........................................ 131 9.3.2. Aspect probabiliste.................................................... 134 9.4. Les volcans.............................................................................. 136 9.4.1. La méthode de la poussière de Cantor .................. 136 9.4.2. La méthode de la fonction de corrélation.............. 139 9.4.3. L’application du premier retour.............................. 140 9.4.4. Analyse multifractale................................................ 140 9.5. Le géomagnétisme terrestre ................................................ 141 9.5.1. Les inversions du champ magnétique terrestre ...... 143 9.5.2. Les variations séculaires du champ géomagnétique........................................ 146 9.5.3. Les variations temporelles du champ magnétique.............................................. 150 10.Les fractales en géomorphologie 151 10.1 Le relief terrestre .................................................................... 151 10.1.1. Le mouvement brownien fractionnaire et le relief virtuel........................................................ 151 10.1.2. Les chaînes de montagnes........................................ 152 10.1.3. Les côtes ...................................................................... 152 10.1.4. Les réseaux hydrographiques.................................. 154 Les cours d’eau................................................................ 154 Les réseaux de drainage DLA ...................................... 156 Les bassins de drainage et les multifractales ................ 157 10.2. L’océan .................................................................................... 157 10.2.1. la rugosité des fonds marins.................................... 158 10.2.2. Les vagues scélérates ................................................ 158 10.2.3. Les arborescences de Granville .............................. 159 10.2.4. La banquise et les glaciers........................................ 160 10.3. L’atmosphère .......................................................................... 162 10.3.1. Les nuages .................................................................. 162 10.3.2. La mécanique de l’atmosphère et du climat .......... 163 11.Les fractales dans le vivant 167 11.1. Une structuration hiérarchique du vivant ........................ 167 310 Table des matières 11.2. Les formes fractales dans le vivant .................................... 169 11.2.1. Les échelles microscopiques, du génome aux cellules ............................................ 169 Génome et chromosomes .............................................. 169 Les échanges de molécules inter membranaires .......... 172 La croissance des bactéries .......................................... 172 Les stromatolithes ........................................................ 172 Les cellules nerveuses .................................................. 174 11.2.2. Les échelles moyennes, du génome aux organes...... 174 Morphologies végétales ................................................ 174 Les fougères .................................................................. 174 Les choux-fleurs .......................................................... 175 Les arbres...................................................................... 177 Morphologies animales.................................................. 177 Les invertébrés.............................................................. 177 Les plumes des oiseaux ................................................ 178 Les poumons ................................................................ 178 Les systèmes artériel et veineux .................................. 179 Le fonctionnement de l’estomac .................................. 179 Les intestins.................................................................. 180 Les reins........................................................................ 180 Le développement allométrique du corps .................... 180 11.2.3. Les grandes échelles du vivant, des organes aux populations .................................. 181 Passage des bifurcations au chaos par des doublements de périodes dans la dynamique des populations animales .................... 181 Territoire couvert par une population en extension .... 184 Extension des épidémies................................................ 184 Les battements du cœur humain.................................. 184 L’épilepsie soignée par le chaos provoqué ? ................ 186 12.Les fractales en paléontologie 189 12.1. Découverte de lois de puissance dans la distribution statistique des apparitions et extinctions d’espèces chez les rongeurs .................................................................. 189 12.2. Extension des recherches en paléontologie........................ 192 12.3. Découverte des lois log-périodiques et premières applications...................................................... 194 12.4. Application de lois log-périodiques à la macroévolution des Primates ; de l’espace au temps…................................ 196 12.5. Extension des recherches en macroévolution.................... 198 12.6. La signification du temps critique ...................................... 202 12.7. Ces résultats sont-ils les conséquences de biais ? ............ 203 Table des matières 311 13.Les fractales en sciences humaines 207 13.1. La structure urbaine .............................................................. 207 13.2. La démographie mondiale.................................................... 207 14.Les fractales en économie 209 14.1. Krachs boursiers et méthodes d’étude .............................. 209 14.2. Application de lois log-périodiques à l’évolution de la bourse .................................................... 210 14.3. Évolution des systèmes économiques d’Europe occidentale ............................................................ 212 14.4. Les civilisations d’Amérique centrale ................................ 213 15.Les fractales dans les arts 217 15.1. Les fractales dans les arts graphiques ................................ 217 15.1.1 Les dentelles de Dürer et de Sierpinski.................. 217 15.1.2. Le sfumato de Léonard de Vinci ............................ 218 15.1.3. La grande vague au large de Kanawaga .............. 218 15.1.4. Le visage de la guerre de Dali ................................ 219 15.1.5. Les galeries d’art sur Internet.................................. 219 15.2. Les fractales en littérature et le chaos déterministe au théâtre...................................... 220 15.3. La musique fractale .............................................................. 222 15.4. Les musiques fractales sur Internet .................................... 225 15.5. Le zoom, les fractales et le cinéma ...................................... 227 Cinquième partie - La nature revisitée 16.La nature revisitée 231 16.1. La théorie de la relativité d’échelle, une nouvelle clé de lecture de la nature ............................ 231 16.2. La nature revisitée.................................................................. 232 16.2.1. L’Univers revisité ...................................................... 232 16.2.2. Le Vivant reconsidéré .............................................. 232 16.2.3. Les Sociétés revues et corrigées .............................. 234 16.2.4. Une théorie globale de l’évolution des systèmes ? .. 236 17.Conclusions 237 Annexes 18.Notes et formules 243 19.Glossaire 279 20.Quelques sites internet dédiés aux fractales 291 21.Références 297 312 Table des matières uploads/Geographie/ tdm-pdf.pdf