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HAL Id: cel-01148916 https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01148916v2 Submitted on 13 May 2016 (v2), last revised 16 Dec 2020 (v7) HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Mathématiques pour la Physique Bahram Houchmandzadeh To cite this version: Bahram Houchmandzadeh. Mathématiques pour la Physique. Licence. Mathématiques pour la Physique., France. 2010, pp.250. ￿cel-01148916v2￿ Mathématiques pour la Physique. Bahram Houchmandzadeh Remerciements : Je remercie sincérement M. Youssef Ben Miled pour sa lecture attentive du manuscrit et ses très nombreuses corrections et suggestions. http://houchmanddzadeh.net/cours/Math/math.htm Première version : Septembre 2008 Version présente : May 13, 2016 2 Table des matières 1 Introduction. 7 2 Éléments d’analyse fonctionnelle. 9 2.1 Les espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 L’espace vectoriel des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Quelques digressions historiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Les séries de Fourier. 19 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Les séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes ? . . . . . . . . . . 24 3.4 Un peu de généralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 Les séries de sinus et de cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6 Vibration d’une corde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.7 Dérivation terme à terme des séries de Fourier. . . . . . . . . . . . 29 3.8 Équation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Les transformations de Fourier. 44 4.1 Entrée en matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2 Les opérations sur les TF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Transformée de Fourier Rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Manipulation et utilisation des TF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5 Relation entre les séries et les transformés de Fourier. . . . . . . . 52 4.6 Approfondissement : TF à plusieurs dimensions. . . . . . . . . . . 52 5 Les distributions. 55 5.1 Ce qu’il faut savoir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Un peu de décence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3 Manipulation et utilisation des distributions. . . . . . . . . . . . . 60 5.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6 Convolution et corrélation. 68 6.1 Les convolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.2 Auto-corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 Table des matières 6.3 Approfondissement : Relation entre l’équation de diffusion et les convolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7 Les transformées de Laplace. 78 7.1 Entrée en matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2 Opérations sur les TL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.3 Décomposition en fraction simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4 Comportement assymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.5 Produit de Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.6 Aperçu des équations intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.7 Aperçu des systèmes de contrôle asservis (feedback systems). . . . . 87 7.8 La physique statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.9 TL inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.10 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8 Les fonctions de Green. 98 8.1 Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.2 Le potentiel électrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.3 La propagation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.4 Propagateur pour l’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . 104 8.5 Disposer d’une base propre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9 Les opérateurs linéaires. 105 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.2 L’algèbre des opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.3 Représentation matricielle des opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . 112 9.4 Valeurs et vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.5 Disposer d’une base propre orthogonale. . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.6 Opérateurs hermitiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.7 Méthodes opératorielles, algèbre de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . 121 10 Les systèmes de Sturm-Liouville. 124 10.1 Introduction. . uploads/Geographie/ m4-phys-2007.pdf

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