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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque Université M’hamed Bougara Boumerdes Faculté des sciences Département de Mathématiques Mémoire présenté en vue de l’obtention du diplôme de Master en Mathématiques Financières Par : MAZOUNI Fatima Et : MENDAS Kenza Méthodes d’estimations de la volatilité des indices boursiers Thème Soutenu publiquement à l’UMBB le 28 /06 /2017, devant le jury composé de : Président Mr. K.KHALDI Promotrice Mme. S.MEDDAHI Examinateur Mr. K.AKLIOUET Année Universitaire 2016 - 2017 Remerciements Toute nos gratitude, grâce et remerciements vont à dieu le tout puissant qui nous a donné la force, la patience le courage et la volonté pour élaborer ce modeste travail. Nos remerciements s’adressent tout naturellement à notre promotrice, Madame S.MEDDAHI, pour sa patience, et surtout pour sa conﬁance et ses conseils, sa dispo- nibilité et sa bienveillance. Nous remercions vivement Monsieur K.KHALDI professeur à l’université de M’ha- med Bougara Boumerdes, pour l’intérêt qu’il a apporté à ce sujet en acceptant d’être le président du jury. Nous remercions également Monsieur K.AKLIOUET enseignant à l’université de M’hamed Bougara Boumerdes pour avoir accepter d’évaluer ce travail et participer à ce jury. Nous témoignons une reconnaissance particulière à l’ensemble des enseignants du département des mathématiques pour leur soutient inestimable et leur instruction. Enﬁn, on remercie nos familles et nos amis qui ont fait de notre réussite leur prin- cipale préoccupation, et à tout ceux de près ou de loin, ont contribués à la réalisation de ce travail. Dédicaces A mon très cher père. A ma très chère mère. A mes trés chers grands parents. A mes frères et soeurs. A ma binôme Kenza et Djamil qui m’ont soutenue jusqu’au bout. A toute ma famille et mes amies. Je dédie ce travail. Fatima A mon très cher père. A ma très chère mère. A la mémoire de mes grands parents. A ma soeur, son mari, mes neveux. A ma binôme Fairouz et Haythem qui m’ont soutenue jusqu’au bout. A toute ma famille et mes amies. Je dédie ce travail. Kenza Résumé Nous nous intéressons aux méthodes d’estimation de la volatilité des indices bour- siers dans le cas ou la volatilité est constante (volatilité historique et volatilité impli- cite) et non constante (volatilité stochastique et volatilité conditionnelle ARCH/GARCH). Nous analysons les principales propriétés des séries ﬁnancières, le modèle de Black- Scholes. Nous illustrons ces méthodes par une application sur des données réelles de cours de l’action SP&500. Mots-clés : Volatilité, équations différentielles stochastiques, instruments ﬁnanciers, rendements, modèle de Black-Scholes, volatilité implicite, volatilité stochastique, modèle ARCH/GARCH. 3 Table des matières Introducution générale 6 1 Calcul Stochastique et instruments ﬁnanciers 8 1.1 Calcul stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Processus adapté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Processus stochastique en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Prossecus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Déﬁnitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Processus de Wiener général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Construction de l’intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Equations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Existence et unicité de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3 Exemples d’EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Instruments ﬁnanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.1 Les options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.2 Notion d’arbitrage et la relation de parité Call-Put . . . . . . . . . 22 1.6.3 Marchés ﬁnanciers viables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.4 Marchés complets : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.5 Options sur indices boursiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Modélisation stochastique de la dynamique du sous-jacent : Modèle de Black-Scholes 25 2.1 Modèle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Portefeuille autoﬁnançant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Evaluation risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.4 Equation différentielle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Series des rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 5 2.2.1 Loi jointe des rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Porpriétés des series ﬁnancières : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Tests statistiques des séries de rendements : . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4 Les grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ math-2.pdf