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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER, BISKRA FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES Mémoire présenté en vue de l’obtention du Diplôme : MASTER en Mathématiques Option : Analyse Par Traka Dalila Titre : Résolution Numérique Des Équations Élliptiques Membres du Comité d’Examen : Dr. Dakhia Hassiba UMKB Encadreur Dr. Bellagoune Abd elghani UMKB Président Dr. Taberha Warda UMKB Examinateur Juin 2019 Dédicace Avec un énorme plaisir, que je dédie ce modeste travail à mes chers, respectueux et magni…ques parents qui m’ont soutnus tout au long de ma vie Â mes chers frères " Abd el halim"et "ALi" Â mes chers soeurs "Massaouda" "Samia" "Zineb" "Fatiha" Â tous ma famille "Traka" et "Rahim" Â mon amie,ma soeur "Hadjer" ;à mes mielleurs amies "Souha","Fayrouz","Simo" Â mes copines "Doja","Sali","Fatiha","Aicha","Massaouda","Maryam","Nour" Â toute la promotion 2019 de 2 ème master mathématique. Â tous ceux qui m’ont aidé de prêt on de loin pour la réalisation de travail. i REMERCIEMENTS Avant tout, je remercie DIEU, le tout puissant, pour m’avoir accordé santé, courage et patience a…n d’accomplir ce travail Je tiens à remercier vivement mon encadreur Dr.Dakhia Hassiba d’avoir accepté de diriger ce projet de …n d’étude, sa gentillesse, sa disponibilité et ses précieux conseils Je voudrais remercier également les membres de jury Dr.Bellagoune Abdelghani et Dr.Taberha Warda de m’avoir fait l’honneur en acceptant de jurer ce travail. Je tiens à remercier, tous ceux qui mon enseingnés durant toutes mes année du primaire jusqu’à l’université. Je tiens aussi à remercier tous les personnes qui m’ont encouragé pendant la réalisation de ce travail : mes parents, ma famille, mes amis et mes collégues. Traka Dalila ii Table des matières Dédicace i Remerciements ii Table des matières iii Liste des …gures v Liste des tableaux vi Introduction 1 1 Généralités sur les équations ordinaires et les équations aux dérivées par- tielles 2 1.1 Equation di¤érentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Equation aux dirévées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 EDP linéaire du 1erordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 EDP linéaire du 2éme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Conditions sur l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Classi…cation des équations aux dérivées partielles du 2émeordre . . . 7 1.2.5 Equations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Méthodes de résolution numérique d’une EDP elliptique 9 2.1 la méthode des di¤érences …nies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Di¤érences …nies en 1D : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 iii Table des matières 2.1.2 Di¤érences Finies en 2D : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 la méthode des volumes …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 volumes …nis en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 volume …nis en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 la méthode des Éléments Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Éléments Finis en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Éléments Finis en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Résolution d’une EDP elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Discrétisation de l’EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Application numérique des méthodes 33 3.1 comparaison entre les méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 consistance, convergence et stabilté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2 la consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 La convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Bibliographie 41 Annexe A : Abréviations et Notations 43 iv Table des …gures 2.1 Cellules admissibles d’un maillage volumes …nis . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1 Solution Exacte et solution approchée d’équation de poisson 1D sur [0,1] . . 36 3.2 Solution exacte, numérique et discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 v Liste des tableaux 3.1 Méthode des di¤érences …nies et des éléments …nis . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Méthode des volumes …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 vi Introduction Les équations aux dérivées partielles sont un sujet de recherche actif en mathématique et elles sont l’origine de la création de beaucoup consepts de math, physique, économique.... Bien plus dans de nombreux domaine de pointe ( industrie aéronautique, industrie pétrolière, problèmes de la fusion contrôlée, etc...) Le progrés technique nécessite de résoudre numériquement des systèmes d’équations aux dérivées partielles parfois trés compliqués a…n d’obtenir des propriétés quantitatives des so- lutions. Les solutions approchées seront calculées en dé…nitive comme des collections de valeurs dis- crètes sous la forme de composante d’un vecteur solution d’un problème matriciel. Ce travail a pour objet la résolution numérique des équations aux dérivées partielles (EDP) elliptiques par trois familles de méthodes numériques : les di¤érence …nies, les éléments …nis, les volumes …nis. *Dans le premier chapitre nous rappelons quelques principales dé…nitions et propriétes géné- rales sur les équations aux dérivées partielles. *Le deuxième chapitre va nous amerer à la présentation des méthodes numériques de résolu- tion. *Le dernier chapitre sera réservé à une application numérique avec les méthodes dont on a déja parlé et une comparaison entre ces méthodes. 1 Chapitre 1 Généralités sur les équations ordinaires et les équations aux dérivées partielles Nous donnons dans ce chapitre quelques rappels des équations ordinaires et des équations aux dérivées partielles. nous utiliserons EDP comme abréviation d’équations aux dérivées partielles 1.1 Equation di¤érentielles ordinaires Dé…nition 1.1 une équation di¤érentielle est une relation du type F(x; u(x); u0(x); ::::; u(n)(x)) = 0 entre la variable x 2 R et les dirévées de la fonction inconue u au point x. La fonction F est une fonction de plusieurs variable (x; y; ::::) ! F(x; y; :::::) 2 Chapitre 1. Généralités sur les équations ordinaires et les équations aux dérivées partielles ou x est dans R(ou uploads/Geographie/ traka-dalila.pdf