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La mathématisation de la mécanique relativiste Johann Colombano-Rut johann.colo

La mathématisation de la mécanique relativiste Johann Colombano-Rut johann.colombano.rut@hotmail.fr Mémoire de M2 HPDS Sous la direction de M. Christophe Eckes et M. Amaury Thuillier Université Claude Bernard Lyon 1 2009 Réalisé en L A T EX Remerciements J’adresse tous mes remerciements aux directeurs de ce mémoire M. Christophe Eckes et M. Amaury Thuillier pour leur disponibilité et leur support, et pour l’aide précieuse qu’ils m’ont apporté dans l’élaboration de ce travail. 2 Sommaire Introduction 4 I. La relativité restreinte et sa géométrisation 6 1. Cinématique classique et relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 a) Relativité galiléenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Transformations de Galilée b) Relativité poincaréenne (1902-1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 c) Relativité einsteinienne (1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Transformations de Lorentz d) Histoire et rôle secondaire de la théorie des groupes chez Einstein . . . . . . . . . . . . . . 17 2. La géométrisation de la relativité restreinte (1907-1914) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a) Göttingen, centre mondial des mathématiques de la ﬁn du XIXe siècle . . . . . . . . . . . 19 b) La conférence de Cologne (1908) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 c) L’espace-temps de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Groupe de Galilée Groupe de Lorentz Interprétation hyperbolique d) Apports de cette géométrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 e) Nécessité de cette géométrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Plus qu’un outil, un univers Une chrono-géométrie objective 3. L’axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 a) Une théorie à principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 b) L’axiomatisation de la physique (1900 -) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 c) L’axiomatisation de la relativité restreinte (1907 -) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 II. Relativité restreinte et programme d’Erlangen 43 1. Présentation du programme d’Erlangen (1871-1872) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 a) Uniﬁcation des géométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 b) La géométrie par les groupes de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 c) Sous-groupes et géométries subordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2. Application de la théorie des groupes à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 a) La géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 b) La géométrie aﬃne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 c) Les géométries aﬃnes euclidiennes et non-euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. Application de la théorie des groupes à la relativité restreinte (1910-1914) . . . . . . . . . . . . . 56 a) L’espace de Minkowski et son groupe principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 b) Schéma récapitulatif : Transformations aﬃnes en dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III. Conclusion 60 Bibliographie 61 Annexe 1 : Histoire des transformations de Lorentz 65 Annexe 2 : Discussion de priorité entre Einstein et Poincaré 69 Annexe 3 : L’ellipse de Steiner 72 3 Introduction « L’œuvre qui appartient en propre au génie consiste ici dans l’observation de la dépendance de certaines déterminantes partielles des phénomènes méca- niques. L’énonciation formelle et précise de cette dépendance fut au contraire l’ouvrage du travail circonspect qui élabora les diﬀérents concepts et les diﬀé- rents principes de la mécanique. Ce n’est que par la recherche de leurs sources historiques que l’on peut déterminer la véritable valeur et le sens de ces prin- cipes et de ces notions. » [Mach1], La mécanique, 1883, p243. Le développement de la mécanique est indissociable de celui des mathématiques. Le terme mécanique désigne à l’époque de Galilée à la fois la science du mouvement et la construction de machines (les arts mécaniques du moyen-âge). Son ouvrage Le meccaniche (1593) est même centré sur la statique, science de l’équilibre. La polysémie du terme mécanique est encore manifeste par le pluriel du titre de sa traduction française Les méchaniques de Galilée publiée en 1674 par le père Marin Mersenne (1588-1648). Dans l’Encyclopédie, ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers (1772) de Denis Diderot (1713-1784) et Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), la Méchanique est déﬁnie comme « partie des mathéma- tiques mixtes, qui considère le mouvement et les forces motrices, leur nature, leurs lois et leurs eﬀets dans les machines »(p10 :222). Nous ne nous intéresserons bien sûr pas à la mécanique des machines, mais à la mécanique dite "classique", qui s’exprime depuis Isaac Newton (1643-1727), c’est-à-dire après la science du mouvement du XVIIème siècle, dans un cadre rigide et immuable, fondé sur des notions de temps et d’espace indépendantes et absolues, et en particulier sur l’existence d’un système de référence au repos absolu. Cet espace et ce temps universels sont identiques pour tous les observateurs, et c’est en leur sein que furent décrites les lois de la statique concernant les corps en équilibre, plus généralement de la cinématique pour les corps en mouvement et de toute la physique contemporaine de Newton. Après trois siècles d’évolution cumulée 1, la mécanique voit l’élargissement du domaine de validité du principe de relativité, qui passe de la mécanique seule à toutes les lois de la physique, dont l’électromagnétisme, et lui attribue un rôle uniﬁcateur. Le cadre de la physique évolue alors de façon signiﬁcative, perdant tout caractère absolu : l’espace unique, fondamentalement immobile, sous le nom d’éther n’est plus nécessaire et ce nouveau cadre modiﬁe considérablement la structure des lois physiques, c’est la cinématique relativiste. Il est accompagné d’une géométrisation et d’une mathématisation remarquables auxquelles participent plusieurs mathématiciens comme Henri Poincaré (1854-1912). De la notion uploads/Geographie/ memoire-m2-la-mathematisation-de-la-mecanique-relativiste.pdf