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I IN NT TR RO OD DU UC CT T M MI Département Géotechnique, Troisième année T TI

I IN NT TR RO OD DU UC CT T M MI Département Géotechnique, Troisième année T TI IO ON N A A L LA A M ME EC CA AN NI IQ QU U MI IL LI IE EU UX X C CO ON NT TI IN NU US S P PA AR RT TI IE E 1 1 Guilhem MOLLON Polytech Grenoble Département Géotechnique, Troisième année Edition 1, 2012-2013 U UE E D DE ES S Département Géotechnique, Troisième année V1.11 Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 2 Table des matières Table des matières __________________________________________________________ 2 Avertissement au lecteur _____________________________________________________ 4 Séance 1. Introduction, Mathématiques _________________________________________ 5 A. Introduction à la MMC ______________________________________________________ 5 1. Quelques définitions _______________________________________________________________ 5 2. Positionnement de la MMC au sein de la mécanique _____________________________________ 5 3. Hypothèses principales de la MMC ____________________________________________________ 6 4. Typologie des milieux continus _______________________________________________________ 7 5. Applications de la MMC _____________________________________________________________ 7 6. Esprit du cours ____________________________________________________________________ 8 B. Rappels d’algèbre tensorielle _________________________________________________ 9 1. Espaces __________________________________________________________________________ 9 2. Notation d’Einstein ________________________________________________________________ 9 3. Symboles de Kronecker et de Lévi-Civita ______________________________________________ 10 4. Tenseurs ________________________________________________________________________ 11 5. Changements de base, Invariants, Base principale _______________________________________ 13 6. Opérations sur les tenseurs _________________________________________________________ 15 C. Rappels d’analyse tensorielle ________________________________________________ 17 1. Nécessité d’une analyse tensorielle __________________________________________________ 17 2. Gradient ________________________________________________________________________ 18 3. Divergence ______________________________________________________________________ 19 4. Laplacien ________________________________________________________________________ 19 5. Rotationnel ______________________________________________________________________ 20 6. Formules de transformations d’intégrales _____________________________________________ 20 Séance 2. Cinématique ______________________________________________________ 22 A. Définitions _______________________________________________________________ 22 B. Points de vue de Lagrange et d’Euler __________________________________________ 23 1. Description lagrangienne du mouvement ______________________________________________ 23 2. Description eulérienne du mouvement _______________________________________________ 25 3. Relations entre les deux descriptions _________________________________________________ 26 C. Lignes caractéristiques _____________________________________________________ 26 D. Dérivée particulaire ________________________________________________________ 27 1. Appliquée à un champ scalaire ______________________________________________________ 27 2. Appliquée à un champ vectoriel ou tensoriel ___________________________________________ 28 3. Appliquée à un domaine matériel ____________________________________________________ 29 4. Appliquée à une intégrale de volume _________________________________________________ 30 E. Quelques cinématiques particulières __________________________________________ 31 1. Le mouvement permanent _________________________________________________________ 31 2. Le mouvement isochore ___________________________________________________________ 32 3. Le mouvement plan _______________________________________________________________ 33 4. Le mouvement de révolution _______________________________________________________ 33 Séance 3. Déformations _____________________________________________________ 34 Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 3 A. Point de vue de Lagrange ___________________________________________________ 34 1. Tenseur gradient _________________________________________________________________ 34 2. Dilatations et glissements __________________________________________________________ 35 3. Déformations ____________________________________________________________________ 37 4. Déplacements ____________________________________________________________________ 38 5. Mouvement rigidifiant _____________________________________________________________ 39 B. Point de vue d’Euler________________________________________________________ 40 Séance 4. Calcul pratique des déformations _____________________________________ 42 A. Hypothèse des petites perturbations __________________________________________ 42 B. Tenseur des déformations linéarisées _________________________________________ 43 C. Valeurs propres et base principale de ________________________________________ 45 D. Etats de déformation particuliers _____________________________________________ 47 1. Dilatation isotrope ________________________________________________________________ 47 2. Extension simple _________________________________________________________________ 48 3. Glissement simple ________________________________________________________________ 49 4. Déformation plane ________________________________________________________________ 50 E. Conditions de compatibilité _________________________________________________ 51 Séance 5. Relations fondamentales de la mécanique ______________________________ 52 A. Conservation de la masse ___________________________________________________ 52 1. Axiome _________________________________________________________________________ 52 2. Forme intégrale et forme locale _____________________________________________________ 53 3. Notion de débit-masse _____________________________________________________________ 54 B. Principe fondamental de la dynamique ________________________________________ 56 1. Notion de contrainte ______________________________________________________________ 56 2. Définitions ______________________________________________________________________ 57 3. Principe fondamental de la dynamique _______________________________________________ 58 C. Autres principes fondamentaux ______________________________________________ 61 1. Théorème de l'énergie cinétique _____________________________________________________ 61 2. Principe des puissances virtuelles ____________________________________________________ 62 3. Premier et second principes de la thermodynamique ____________________________________ 62 Séance 6. Contraintes _______________________________________________________ 64 A. Théorème de Cauchy _______________________________________________________ 64 B. Directions principales, invariants _____________________________________________ 65 C. Cercle de Mohr____________________________________________________________ 68 1. Principes ________________________________________________________________________ 68 2. Contrainte de cisaillement maximal __________________________________________________ 71 3. Description du grand cercle de Mohr _________________________________________________ 72 D. Etats de contrainte particuliers _______________________________________________ 78 1. Traction ou compression hydrostatique _______________________________________________ 78 2. Traction ou compression simple dans une direction _____________________________________ 78 3. Cisaillement simple _______________________________________________________________ 80 4. Etat de contrainte triaxial de révolution _______________________________________________ 81 5. Etat de contrainte plane ___________________________________________________________ 82 Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 4 Avertissement au lecteur Ce polycopié est un support aux cours de mécanique des milieux continus du département Géotechnique de Polytech Grenoble. Il ne peut pas être considéré comme complet ou exhaustif, et pourra seulement servir de complément aux cours magistraux et d’aide-mémoire. Il introduit les concepts de base, leur signification et leur utilisation, mais ne s’attarde pas sur les démonstrations ni sur les parties les plus complexes de la théorie. Pour une approche plus rigoureuse et plus complète, il est vivement recommandé de se procurer l’un des innombrables ouvrages de MMC disponibles à la bibliothèque universitaire (ou chez tout bon libraire scientifique), ou de chercher un cours sur le net (il y en a beaucoup). La partie 1 du cours (à peu près 6 séances), développe la partie la plus abstraite de la théorie, en présentant les différentes grandeurs qui caractérisent d’une part les déformations d’un système mécanique, et d’autre part les efforts intérieurs et extérieurs présents dans ce système, sans développer de lien entre ces déformations et ces efforts. Cette tâche sera dévolue à la partie 2 du cours (6 séances également), qui introduira la notion de modèle de comportement et présentera quelques exemples fondamentaux de comportements solides et liquides. Cette seconde partie s’intéressera aussi brièvement aux méthodes de résolution d’un problème concret. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 5 Séance 1. Introduction, Mathématiques A. Introduction à la MMC 1. Quelques définitions -Mécanique. Il s’agit de la branche de la physique qui décrit les mouvements et les équilibres d’un système. -Milieu. On ne parle pas ici de matériau mais de milieu. On est donc en présence d’une théorie « abstraite », qui est dans un premier temps éloigné de la réalité physique et expérimentale. Ceci permet à cette théorie de rester le plus général possible. Elle ne se spécialisera en différentes branches (traitant de différents matériaux) que plus tard dans le cours. -Continu. La notion de continuité est intimement liée à celle d’échelle. On va présenter une théorie abstraite, mais on doit garder à l’esprit qu’elle sera appliquée au monde physique. Tous les matériaux réels sont discontinus à petite échelle (molécules, cristaux, grains de sables, etc.). Un matériau réel sera donc considéré comme continu (cette notion sera précisée) à condition que l’on soit suffisamment loin, ou suffisamment myope. D’une manière plus générale, la MMC est une construction mathématique. On dira qu’il s’agit d’une modélisation. En d’autres termes, c’est une représentation abstraite du monde physique qui repose sur des hypothèses que nous savons plus ou moins vraies selon les applications. Comme toujours dans les sciences physiques, le critère royal pour déterminer si la théorie est valide dans un cas donné est bien connu : il s’agit de l’expérimentation. 2. Positionnement de la MMC au sein de la mécanique La plus simple des mécaniques « modernes » est la mécanique du point (fondée sur les résultats de Newton). Elle permet de déterminer la position, la vitesse et l’accélération d’un « point matériel », c'est-à-dire d’un objet mathématique sans « forme » ni « volume », mais muni d’une masse et soumis à des forces. C’est la théorie utilisée par exemple pour étudier le mouvement des planètes sur leur orbite. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 6 L’étape suivante et la mécanique du solide indéformable. Elle reprend les ingrédients de la mécanique du point, mais ajoute au système d’étude une « forme », et donc un volume et une distribution spatiale de la masse. Cette mécanique introduit les notions de rotation, d’inertie, et de moment. Elle s’applique par exemple très bien à l’étude des systèmes articulés (robotique, etc.) ou à l'étude micromécanique du sable. L’ajout essentiel de la MMC est d’introduire la possibilité pour le système de se déformer. Bien entendu, ceci complique énormément la théorie, et va notamment rendre nécessaires des outils mathématiques beaucoup plus sophistiqués que pour les deux premières mécaniques. 3. Hypothèses principales de la MMC La MMC est une mécanique dite « classique », ce qui signifie que : - l’échelle du problème est très grande devant la taille des particules élémentaires. La MMC n’est donc pas quantique. - la vitesse de la matière est très faible devant celle de la lumière. La MMC n’est donc pas relativiste. L’hypothèse principale de la MMC est nommée hypothèse de continuité. Elle stipule que les propriétés de la matière (densité, propriété mécaniques, etc.) sont continues. Ceci implique qu’elles peuvent êtres décrites par des objets mathématiques continus et dérivables (au moins par morceaux). On nommera ces objets des champs, et ils dépendront à la fois de l’espace et du temps. D’une manière générale, cela signifie que la MMC, lorsqu’elle sera appliquée au monde réel, s’intéressera à des moyennes locales. Il est impossible de déterminer le mouvement de chacune des particules élémentaires constituant un système physique (à titre d’exemple, un millimètre cube d’air ambiant comporte environ 1018 molécules), donc on devra s’intéresser à un volume suffisamment grand pour le considérer continu. A titre d’exemple, la pression exercée par un fluide sur une paroi solide est due à une multitude d’impact de uploads/Geographie/ mmc-partie-1.pdf