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METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE C

METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR (Version 1, Juin 2011) Par : Pr. Abbès AZZI Faculté de Génie-Mécanique USTO MB BP.1505, El-Mnaouar, 31000, Oran, Algèrie. Tel-fax:+213 (0) 41 416121 e-mail: azzi.abbes@yahoo.fr url : www.abbesazzi.com T 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 21 x 21 METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR www.abbesazzi.com Page 2 AVANT PROPOS La pierre angulaire de la méthode des différences finies, est bel est bien le développement en série de Taylor. Brook Taylor, cet élève qui devint plus célèbre que ces professeurs, découvrit les séries appelées ‘développement de Taylor’. Par sa découverte, Taylor a mis entre nos mains le moyen de prédire la valeur d’une fonction en un point donné en fonction de sa valeur et la valeur de ces dérivées en un autre point tout proche du premier. C’est bien à partir de cette série, qu’on peut obtenir les schémas algébriques pour remplacer les dérivées dans une équation de type EDP (Equation aux Dérivées Partielles). C’est la base même de la méthode des différences finies et des autres méthodes déduites de celle-ci. Tout le reste n’est qu’annexes servant à parler de stabilité, consistance, erreurs de troncature et autres. Vous l’aurez compris, toute la philosophie de cette méthode est d’essayer de prédire ce qui se passerait dans un laps de temps sur la base de ce qui se passe à l’instant (valeur instantanée) et les tendances de changement actuelles (les dérivées successives). Ceci est vrai pour le temps mais aussi pour l’espace. Cette prédiction est d’autant plus juste que l’incrémentation est petite et/ou que les lois de changement et d’évolution sont connues. Mon cours de différences finies, je le divise habituellement en trois grands chapitres classés par ordre de complexité. J’aime aussi construire mon cours autour d’exemples à résoudre ce qui permettra d’apprendre tout en appliquant. Il est aussi important de dire que les équations de transport dont il est question en MDF, comportent essentiellement un terme non stationnaire, un terme de transport par convection, un terme de transport par diffusion et enfin un terme source. La partie diffusion est la plus simple à traiter, puisqu’en générale le coefficient de diffusion est assimilé à une constante, d’où une équation linéaire plus simple à traiter. L’équation de Fourier, relative au transfert de chaleur par conduction et en régime non stationnaire sera l’exemple à résoudre durant toute la première partie du cours. Dans cette partie il est question d’introduire l’étudiant aux schémas numériques de base aussi bien pour l’espace que pour le temps. Les notions de précision (erreurs de troncature), de stabilité et de consistance compléteront cette première partie. Dans un deuxième temps, la partie diffusion sera retraitée par l’approche des volumes finis. Les mêmes exemples seront repris et discutés sur la base de cette méthode. Tout comme pour les différences finies, la méthode des volumes finis repose sur un principe de base qui est le théorème de la divergence. Ce principe permet de substituer une intégrale de volume par une intégrale de surface. Cette partie du cours correspond à ce que je donne habituellement aux étudiants de graduation. METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR www.abbesazzi.com Page 3 Les termes de convection sont non linéaires et par conséquent plus compliqués à traiter. Il s’agit là, d’un mouvement macroscopique de fluide, à qui on doit adapter les schémas de convection en fonction de la direction de l’écoulement. Cette partie sera traitée directement par la méthode des volumes finis et portera sur la dualité précision-stabilité. Les différents types de schéma et leurs propriétés seront étudiés à travers des exemples d’applications. En générale, je réserve cette partie pour les étudiants de post-graduation, mais n’empêche que des fois avec des étudiants studieux en graduation, on peut aborder une partie de ce chapitre. La troisième partie du cours, concerne la résolution des systèmes d’équation (Navier- Stokes). A travers ce système d’équations quasi-non linéaires et couplées j’introduis les algorithmes de correction de pression utilisés pour les équations de fluides incompressibles. La partie compressible ne fait pas encore partie de ce cours. METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR www.abbesazzi.com Page 4 SOMMAIRE Les équations aux dérivées partielles, classification PARTIE I : 1. Présentation de la méthode des différences finies 1. L’équation de conduction de la chaleur (Joseph Fourier) 2. Le problème stationnaire 3. Le problème non stationnaire 4. Schémas explicite et implicites 5. Le concept de stabilité (transformation de Fourier) 6. Schéma de Crank-Nicholson 7. Schéma de Duffort-Frankel 8. Le concept de consistance 9. Mini-projet (conduction thermique en 2D) 2. Présentation de la méthode des volumes finis 1. Application à la partie diffusion (1D) 2. Diffusion en 2D et 3D 3. Mini-projets (conduction thermique en 2D) PARTIE II : 1. Application de la méthode des volumes finis pour un problème de convection- diffusion 1. Les propriétés d’un schéma de convection 2. Schéma avant d’ordre un 3. Schéma centré d’ordre deux 4. Schéma hybride 5. Schémas à haute précision avec et sans limiteurs PARTIE III : 1. Algorithme de couplage pression-vitesse 1. Relaxation 2. Maillage décalé 3. Interpolation de Rhie & Show (maillage colocatif) 4. Algorithmes : SIMPLE, SIMPLEC, SIMPLER et PISO METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR www.abbesazzi.com Page 5 LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES (EDP) Dans cette première partie il est question de proposer un classement des équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides et des conditions aux limites qui vont avec. Classification : Considérons la forme générale d’une Equation aux Dérivées Partielles (EDP) de second ordre suivant les deux variables indépendantes (x et y) : 0 2 2 2 2 2                   G F y E x D y C y x B x A       (1) Une classification assez simple de cette équation peut être faite sur la base des coefficients associés aux dérivées d’ordre le plus élevé A, B et C. On calcule le déterminant définit par : C A B 4 2    L’équation est dite de type  elliptique si 0   ,  parabolique si 0   ,  hyperbolique si 0   . Dans le cas d’un système d’EDP, il faut écrire l’équation caractéristique du système pour trouver sa nature. La marche à suivre est illustrée par l’exemple suivant : 1 1 1 1 1 E y V D x V C y U B x U A             (2) 2 2 2 2 2 E y V D x V C y U B x U A             (3) on écrit les déplacement : dy y U dx x U dU       (4) dy y V dx x V dV       (5) Les équations précédentes s’écrivent sous la forme compacte suivante : METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR www.abbesazzi.com Page 6                                                                                dV dU E E y V x V y U x U dy dx dy dx D C B A D C B A 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 (6) Le déterminant :       0 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1         dx D B D B dy dx C B C B D A D A dy C A C A (7) On divise l’équation précédente par 2 dx , et on définit dx dy f  ' 0 ' 2 '    c f b f a (8) c a b 4 2    (9) L’équation est dite de type elliptique si 0   , elle est parabolique si 0   , et hyperbolique si 0   . Une des utilités de cette classification est de prévoir le comportement de l’équation vis à vis des conditions aux limites. Si nous imaginons un écoulement de fluide de gauche vers la droite, une perturbation en un point donné n’a pas d’influence amont si l’équation est de type parabolique. Si par contre l’équation est de type uploads/Geographie/ mn-i-ver01-part01.pdf