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2e édition COURS EXERCICES CORRIGÉS NICOLAS BASBOIS PIERRE ABBRUGIATI MPSI PCSI

2e édition COURS EXERCICES CORRIGÉS NICOLAS BASBOIS PIERRE ABBRUGIATI MPSI PCSI 1re ANNÉE Conforme aux programmes ALGÈBRE 2e édition ALGÈBRE 1re ANNÉE MPSI / PCSI NICOLAS BASBOIS PIERRE ABBRUGIATI COURS EXERCICES CORRIGÉS © De Boeck Supérieur s.a., 2016 2e édition Rue du Bosquet, 7 B-1348 Louvain-la-Neuve Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par pho- tocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit. Imprimé en Belgique Dépôt légal: Bibliothèque nationale, Paris : décembre 2016 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2016/13647/178 ISBN : 978-2-8073-0640-0 Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com Remerciements Nous commençons par remercier Fabrice Chrétien des éditions de Boeck pour l’oppor- tunité qu’il nous a oﬀerte avec ce projet. Notre reconnaissance va évidemment à Olivier Rodot, directeur de la collection et auteur de l’ouvrage d’analyse de seconde année, pour son soutien, ses conseils et critiques avisés et sa grande disponibilité. Merci également à Gilles Costantini, rédacteur de l’ouvrage d’analyse de première année, pour son sou- tien également, et ses conseils. Enﬁn, nous remercions pour leur relecture attentive et leurs commentaires avisés Sébastien Duchâtel et Marie-Pierre Lorenzi. Nous sommes in- ﬁniment redevables à Ioana Paşca pour son investissement à nos côtés, et à Christophe Antonini pour sa disponibilité sans failles et tout le proﬁt que l’on a pu tirer de ses compétences. Nicolas et Pierre Je proﬁte de cette page pour remercier vivement Michel Schweitzer, qui m’a été d’une aide précieuse pour ma première année d’enseignement en cpge. J’adresse un salut ami- cal à mes collègues, qui m’ont encouragé et ont suivi l’avancée de mon projet. Enﬁn je ne dirai jamais assez merci à mes amis et à mes proches, en particulier ma mère, dont le soutien a été tellement important. Et j’adresse une pensée à mon père, qui reste présent à mes côtés. Nicolas J’aimerais proﬁter de ces quelques lignes pour remercier Jérôme Isaia qui, dix ans après m’avoir donné le goût des mathématiques alors qu’il était notre enseignant en mpsi, m’a guidé avec sagesse alors que je débutais dans l’enseignement en classe préparatoire. Je remercie vivement mes proches de m’avoir supporté, dans tous les sens du terme, pen- dant l’écriture de cet ouvrage. Je pourrais remercier tout particulièrement Ioana Paşca pour son support moral durant la rédaction de ce livre, mais cela ne serait pas correct; la vérité est qu’elle a très largement participé à cette rédaction. Pierre. Table des matières 1 Rudiments de rédaction mathématique 1 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Énoncés et expressions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1 Énoncés mathématiques : déﬁnition et exemples . . . . . . . . . . 1 2.2 Formalisme symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Principes élémentaires de rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1 Préliminaires sur l’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Quantiﬁcation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Implication sous quantiﬁcation universelle et inclusion . . . . . . . 17 3.5 Équivalence et égalité ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.6 Égalité entre applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.7 Quantiﬁcation existentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.8 Quantiﬁcation existentielle unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Exemples de raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1 Analyse - Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Raisonnement par contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Raisonnement par disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Logique, ensembles, applications, relations 39 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 i ii TABLE DES MATIÈRES 2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1 Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Énoncés quantiﬁés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 Le paradoxe de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Deux méthodes de déﬁnition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Opérations sur P(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1 Déﬁnition et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Structure catégorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Images directes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5 Indicatrice d’une partie d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.6 Familles et opérations sur les familles d’ensembles . . . . . . . . . 91 5 Relations . uploads/Geographie/ mpsi-pcsi-algebre.pdf