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Mathématiques des Populations I Partie déterministe note (approches multiples)

Mathématiques des Populations I Partie déterministe note (approches multiples) l'approche déterministe : statique dynamique modèle mathématique décrivant l'écolution d'une population au cours du temps (en tems discret ou continu) l'approche stochastique : en temps discret (Chaine de Markov) en temps continu (Processus de Markov, processus de naissance et de mort qui généralisent des **Processus de Poisson) l'approche Série Temporelles (voir M2) def (Population) Ensemble d'éléments ou d'individus dont le nombre varie au cours du temps *(Ex. nombre de poisson dans un lac, livres dans une bibliothèque, population humaine - démographie- * 1 Approche statique def (démographie) La démographie est l'étude des populations visant à connaître leurs effectifs, leurs compositions par âge, sexe, statut matrimonial etc… Elle utilise les informations statistiques fournis par les recensements de l'Etat (INED en france) note (approche statique) concerne le passé et le présent (n'a pas pour objectif de construire des modèles prédictifs) note (Etude de la natalité et mortalité d'une population) La première table de mortalité date de 1662, Londres par John Graunt def (taux de natalité) Le taux de natalité donne le nombre de naissance vivantes au cours d'une année divisé par la population totale moyenne de l'année. def (taux de mortalité) Le taux de natalité donne le nombre de décès annuel rapporté au nombre moyen d'individus 2008 taux de natalité taux de mortalité Monde 20,2% 8.6% Afrique 36% 6% Europe 10.3% 11.8% def La variable représente la durée de vie d'un individu de la population de référence. On définit la durée de vie restante d'un individus ayant atteint l'age x La personne vivante à l'age décède à l'âge , On définit def (fonction survie) La fonction survie donne le nombre moyen de survivants à l'âge d'une cohorte de individus tous nés à une même date. note T Tx = (T −x|T > x) Tx x x + Tx x ∈N Probabilité de survie = P[ > t] = P[T > x + t|T ≥x] tpx Tx Probabilité de décès = 1 − = P[T ≥x + t|T ≥x] tqx tpx On note = et = px 1px qx 1qx x →lx x l0 donne le nombre de décès observés parmi les individus âgés de années, entre l'âge et On a alors qui est le quotient de mortalité en démographie. C'est le quotient entre le nombre de décès dans l'intervalle et le nombre de survivants à l'instant . (conention : à la naissance des individus def (Temps vécu) Le nombre d'années vécus par tous les individus de la cohorte entre l'âge et l'âge es ex A l'instant def (temps à vivre) Le temps à vivre aux survivants de la cohorte au delà de l'age est def (taux de mortalité) Le taux de mortalité sur diffère du quotient car le nombre de décès est ramené à un effectif moyen au lieu de l'effectif initial Il s'exprime en nombre de décès par personne et par an. Il est aussi appelé le taux central de mortalité − lx lx+1 lx x x x + 1 nombre de décès entre x et x+1 = − tdx lx lx+t = 1 − tqx lx+t lx x,x + t x t = 0) x x + t = dϵ tLx ∫ t 0 lx+ϵ x →5 individus x + 1 →4 individus x + 2 →4 individus x + 3 →2 individus = 5 + 4 + 4 + 2 4Lx x = dϵ = Lx ∫ ∞ 0 lx+ϵ ∑ k=x ∞ 1Lk (x,x + t) = tmx tdx tLx remarque ce nombre à une dimension. Ce taux est mesuré en unité inverse du temps et comptabilise les décès par personne exposée au risque durant une unité de temps def (taux instantané de mortalité) Le taux instantané de mortalité à l'âge est Si on fait un développement de Taylor de la fonction : De même, Au final : On peut faire le lien avec le taux central de mortalité avec lequel on a : x + t = μx+t lim Δt→0+ P(t < ≤t + Δt| > t) Tx Tx Δt = lim Δt→0+ P( < t + Δt) −P( ≤t) Tx Tx Δt ∗P( > t) Tx = lim Δt→0+ − t+Δtqx tqx Δt ∗ tpx = ( ) → = 1 tpx ∂ ∂t tqx ∂ ∂t tqx μx+t ∗t px t →tqx = + Δt( ) + o(Δt) Δtqx 0qx ∂ ∂t tqx |t=0 (*) f(Δt) = f(0) + Δt (0) + o(Δt) f ′ = Δt ∗ + o(Δt) Δtqx μx + Δt( ) + o(Δt) Δtpx =0 px ∂ ∂t tqx |t=0 = 1 −( ) ∗Δt + o(Δt) ∂ ∂t tqx |t=0 = 1 − Δt + o(Δt) Δtqx μx = = Δtmx Δtdx ΔtLx − lx lx+Δt Δt ∗ dϵ 1 Δt ∫ Δt 0 lx+ϵ = Δt x −d x On a vu : On peut obtenir une relation exacte entre les proba de survie tPx et le taux instantanné de natalité : on a : si on suppose que la loi de admet une densité$ D'où : On a obtenu l'equation differentielle : Il s'agit d'une eq diff linéaire du ordre de la forme dont la solution est de la forme avec une primitive de On a donc : II Approche dynamique : les modèles déterministes à temps discret note approche dynamique à l'aide de modèles note (Equation d'accroissement de la population) = lim Δt→0 Δtmx −d dt lx lx = = = μx lim Δt→0 Δtqx Δtlx lim Δt→0 − lx lx+Δt Δtlx lim Δt→0Δtmx = P( ≤t) tqx Tx Tx (P( ≤t)) = ) = ∂ ∂t Tx ∂ ∂t (tqx μx+t ∗t px = ) μx+t 1 tpx ∂ ∂t (tqx (ln )) = = = − ∂ ∂t (tpx ) ∂ ∂t (tpx tpx ) −∂ ∂t (tqx tpx μx+t ⎧ ⎩ ⎨ ) + = 0 ∂ ∂t (tpx μx+t ∗t px = 1 0px 1er a(t) + b(t)y(t) = c dy(t) dt Ke−A(t) A(t) b(t) a(t) = tpx e− dϵ ∫t 0 μx+ϵ 2 types de populations : population fermée (naissance, décès) population ouverte (naissance, décès, émigration, immigration) note On considère une population ouverte soit : nombre d'individus à l'instant d'une population On note l'accroissement (positif ou négatif) de la population entre le temps et remarque x(t) t δ(t,t + h) = x(t + h) −x(t) t t + h En temps discret, représente le pas du temps. Dans le cas le plus simple, On note naissance décès arrivées départ hypothèse : on suppose en considérant 2 facteurs : l'instant considéré la taille de la population on définit les taux associés D'où l'équation d'accroissement avec On a aussi : remarque le choix de caracterise le modèle n'est pas nécessairement constant. Si on considère par exemple une population d'insectes qui arrivent sur une île déserte, on peut avoir une fonction de la forme. (lorsque les reserves s'épuisent, peut devenir négatif) h t ∈N,h = 1 δ(t,t + h) = n(t,t + h) −m(t,t + h) + i(t,t + h) −e(t,t + h) n m i e δ(t,t + h) = f(t,x(t)) m(t,t + h) = (t,x(t)) m ˜ ν(t,x) = (t,x n ˜ x(t) (taux de natalité) μ(t,x) = (t,x m ˜ x(t) ϵ(t,x) = (t,x e ˜ x(t) γ(t,x) = (t,x i ˜ x(t) δ(t,t + h) = x(t) ∗r(t) r(t,x) = ν(t,x) −μ(t,x) −ϵ(t,x) + γ(t,x) x(t + h) = x(t) ∗(1 + r(t,x)) r r(t,x) r r note Euler avait considéré un modèle de ce type en 1948 (ce sont les modèles àcroissance géometrique) Problème d'Euler : 100000 habitants dans une province, le nombre d'habitants s'accroit d'un trentième tous les ans, combien d'habitants comptera la province au bout de 100 ans ? note Ce modèle a été repris par Malthus en 1798 avec l'exemple de lapopulation des Etats- Unis qui doublait tous les 25 ans. avec un pas de temps de 25 ans et Danger : croissance géométrique de lapopulation alors que les ressources n'augments pas de façon arithmétique Construction d'une table de survie dans le cas d'un flux unique de décès note x(t + 1) = x(t)(1 + r) x(0) = 100000 x(1) = x(0) ∗(1 + r), avec r = 1/30 x(100) = 100000 ∗(1 + = 2654874 1 30 )100 x(t + 1) = 2 ∗x(t) r = 1 x(t) = x(0) ∗(1 + r)t on s'interesse à la répartition d'une population en classe d'âge au cours du temps. On se donne un âge limitte très grand (ex ). On considère une partition : nombre d'individus dans la population considérée d'âge compris entre et on définit distribution d'âge [0,10[ 60 20% [10,20[ 55 18% l l = 150ans 0 = < <...< < = l a0 a1 an−1 an = [ , [,i = 0,..,n −1 Ci ai ai+1 (t) xi ai ai+1 x(t) = ( (t),..., (t)),x(t) = (t) x0 xn−1 ∑ i=0 n−1 xi (t) = ci (t) xi x(t) ri (t) xi (t) ci (t) i Comment évoluent les au cours du temps ? Pour simplifier, uploads/Geographie/ mathematiques-des-populations-pdf.pdf