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(6 relations) : • Equations d’équilibre (3 relations) : f : densité volumique de force • Loi de Hooke (6 relations) : ou encore : ! et µ : coefficients de Lamé, E : module de Young, " : nombre de de Poisson L’ensemble de ces relations définies sur un domaine # et complété par des conditions aux limites portant sur u et/ou sur $ sur des parties %u# et/ou %"# de la frontière: (F densité surfacique de force) constitue un problème général d’élastostatique. En éliminant soit $ soit u on aboutit aux deux formulations classiques : • Formulation en déplacements (équations de Lamé-Clapeyron) : (3 relations) ou encore (puisque ) : • Formulation en contraintes (équations de Beltrami) : (6 relations) Exercice 1 : Paramètres élastiques (!, µ), (E,"), (K, G) 1) On considère, dans un repère orthonormé (O,ex,ey,ez), les trois expériences suivantes pour lesquelles & est un nombre positif suffisamment petit pour que l’on puisse faire l’hypothèse des petites déformations. On envisagera pour chacune d’elles un système de forces (compatible avec l’intuition physique !) permettant de rendre compte de la déformation. On calculera le champ de déformation et le champ de contrainte correspondant. Les forces de volume sont négligées. Les milieux considérés sont homogènes et isotropes (loi de Hooke). A) Cisaillement simple Un bloc rectangulaire subit la transformation suivante : • quelle condition obtient-on sur µ ? • calculer la variation de volume ; • donner une interprétation physique à µ. B) Compression uniforme Une sphère subit la transformation suivante : • quelle condition obtient-on sur 3! + 2µ ? • calculer la variation de volume subie par la sphère ; • donner une interprétation physique à K = (3! + 2µ)/3. C) Traction pure Un cylindre subit la transformation avec " >0 • exprimer " en fonction de ! et µ ; • quelle condition obtient-on sur ! et µ ? • calculer la variation de volume ; • donner une interprétation physique à " et à 2) Exprimer la loi de comportement en fonction de K et G = µ Résumé : relations entre (!,µ), (E,") et (K,G) MASTER Ingénierie mathématique Mécanique du solide Chapitre 1 2 Exercice 2 : Détermination expérimentale des paramètres élasticité Un essai de traction a été effectué sur un matériau. Les courbes contrainte ' déformation longitudinale ((l) et contrainte ' déformation transversale ((t) sont données par la figure ci-dessous. Déterminer le module de Young E et le coefficient de Poisson " de ce matériau. Exercice 3 : Réservoir sphérique sous pression On considère une sphère creuse de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 soumise à une pression interne p1 et à une pression externe p2. 1) Déterminer, en négligeant les forces de volume, la fonction de déplacement d’un point quelconque de la sphère. 2) En déduire les composantes du tenseur des petites déformations et celles du tenseur des contraintes en supposant que le comportement de la sphère obéit à la loi de Hooke. 3) Exprimer les conditions aux limites du problème. 4) Etudier maintenant le cas d’une coque mince d’épaisseur h = R2-R1 avec h << R1, soumise à une pression extérieure p2 = 0 et une pression intérieure p1 = p. Exercice 4 : forces de volume Un milieu est en équilibre par rapport à un repère orthonormé absolu direct Oxyz. Les composantes du tenseur des contraintes dans ce repère sont où & et l sont des constantes données. En déduire l’expression de la densité volumique des forces extérieures f. Exercice 5 : Traction - compression d’une barre élastique On néglige l’action des efforts volumiques et le milieu considéré est une pièce cylindrique élastique d’axe Ox sollicitée en traction. On exerce, à cet effet, des forces superficielles sur les deux sections droites Sg et Sd du cylindre. On observe une déformation du milieu qui se caractérise par un # déplacement ) suivant Ox des points de Sd, # déplacement nul suivant Ox des points de Sg a) Sachant qu’au cours de la déformation les deux sections Sg et Sd restent identiques à toutes sections droites du cylindre, écrire les conditions aux limites auxquelles doivent satisfaire les contraintes et les déplacements. b) Essayer un champ de contraintes, choisi très simplement, compatible avec les conditions aux bords. Vérifier s’il satisfait également aux conditions générales de Beltrami. c) En supposant que la loi de Hooke est applicable, déduire de ce champ de contraintes le champ des vecteurs déplacements. Particulariser la solution ainsi obtenue en écrivant qu’un des points est fixe et que la rotation en son voisinage est nulle. Exercice 6 : Déformation d’une colonne Une colonne de marbre de hauteur h repose sans frottement sur un sol rigide. La surface latérale et la section supérieure sont libres de tout effort. La verticale descendante est prise pour axe Ox3, l’origine O étant dans le plan de la section supérieure. Trouver un champ de contraintes statiquement admissible dont la seule composante non nulle est (pourquoi ?). Calculer le champ des déformations associé et trouver le champ des déplacements. Particulariser la solution en imposant que le centre O de la section x3 = h reste en contact avec le sol rigide et que la rotation y est nulle. Représenter schématiquement et de manière amplifiée la forme prise par la colonne. MASTER Ingénierie mathématique Mécanique du solide Chapitre 1 3 Exercice 7 : Effet d’un champ gravitationnel Soit une boule pleine isolée et soumise à son propre champ de gravitation. Si g désigne le module de l’accélération de la pesanteur à la surface de la boule, les forces de volume en tout point M de la boule sont où R est le rayon de la boule, O son centre, et * la masse volumique de la substance la composant. # Quelles sont les conditions aux limites du problème ? # Dans l’hypothèse des petites déformations élastiques, déterminer le champ des déplacements et les déformations correspondantes. Exercice 8 : Cylindre en rotation Un cylindre plein à base circulaire de rayon R est constitué par un matériau élastique de masse volumique *. Il est mis en rotation uniforme autour de son axe Ox3. En désignant par + la vitesse angulaire et en négligeant l’accélération de la pesanteur, les forces volumique se réduisent à la seule force centrifuge . Calculer le champ des déplacements. Exercice 9 : Thermo-élasticité - Conditions de compatibilité L’espace est rapporté à un trièdre (O, x, y, z) orthonormé direct. On considère un milieu continu homogène et isotrope et on se place en petites déformations. Soit T une fonction scalaire représentant la variation de température en tout point du milieu dans son état de référence. Le champ des déformations est supposé être donné par la relation : où & est une constante et I le tenseur identité. 1) Déterminer dans ce cas la forme la plus générale de la fonction T compatible avec la continuité du milieu. 2) Le milieu occupe, dans l’état de référence, la région de l’espace situé entre z = h et z =-h. Calculer le champ des déplacements en tout point du milieu lorsque les particules situées dans les plans z = h et z =-h subissent respectivement une variation uniforme de température on supposera que le vecteur déplacement et le tenseur rotation sont nuls en O. Déterminer l’équation de la surface déformée du plan z = 0. Le milieu est supposé élastique linéaire. L’expression de la loi de comportement est alors 3) Déterminer l’expression des contraintes en fonction des déformations (on fera intervenir soit K et G soit ! et µ=G). 4) Le milieu occupe dans l’état de référence le domaine # de frontière $#. Il est soumis à des efforts volumiques de densité f et à des efforts surfaciques de densité F sur $# et à une variation de température T en tout point. Montrer que l’on peut formuler ce problème comme un problème classique d’élasticité linéaire. Annexe : conditions de compatibilité en coordonnées cartésiennes MASTER Ingénierie mathématique Mécanique du solide Chapitre 1 4 Exercice 10 : Déformation d’un hangar L'espace est rapporté à un trièdre (O, x, y, z) orthonormé direct, lié à la terre. On désigne par g l'intensité de la pesanteur, (O, z) étant vertical ascendant. On désire réaliser l'étude simplifiée d'un hangar métallique H, en forme de calotte hémisphérique de faible épaisseur. Le matériau constitutif de masse volumique *, est homogène. On suppose acceptable l'hypothèse des petites perturbations. H repose sur un sol rigide, plan et horizontal, suivant une couronne circulaire de faible épaisseur et de rayon moyen R ; on admet que le contact entre la base et le sol a lieu sans frottement. De manière naturelle, on repère un point de H par uploads/Geographie/ poly-meca-mim-pdf.pdf