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Projet d’analyse numérique Optimisation de la température d’un four Travail enc

Projet d’analyse numérique Optimisation de la température d’un four Travail encadré par Mr. RJAIBI Badereddine Travail élaboré par : ZAIDI Intissar WECHTATI Arbia 1AGC1 Année universitaire 2015-2016 Page 1 sur 25 Remerciement Avant d’entamer ce rapport, nous profitons de l’occasion pour remercier nos chers professeurs pour avoir crée cette occasion (le mini projet) et nous permettre ainsi de voir nos acquis purement théoriques par le biais de la programmation. On remercie ainsi notre encadreur Monsieur Rjaibi pour avoir bien voulu encadrer ce travail ainsi que pour sa riche contribution et ses remarques précieuses. Enfin on tient à remercier l’ensemble du corps enseignant de l’ENIT. Page 2 sur 25 I-Introduction : Dans la nature, les systèmes et phénomènes physiques les plus intéressants sont aussi les plus complexes à étudier. Ils sont souvent régis par un grand nombre de paramètres non-linéaires interagissant entre eux (transfert thermique, météorologie, la turbulence des fluides...). L'une des solutions est de recourir à une série d'expériences pour analyser les paramètres et grandeurs du système. Mais les essais peuvent s'avérer très coûteux (essais en vol, essais avec matériaux rares, instrumentations très chères...) et ils peuvent être très dangereux (essais nucléaires, environnement spatial...). Enfin il peut être difficile de mesurer tous les paramètres : échelles du problème trop petites (chimie du vivant, couche limite en fluide...) ou trop grandes (astrophysique, météorologie, géophysique...). On peut aussi construire un modèle mathématique permettant la représentation du phénomène physique. Ces modèles utilisent très souvent des systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dont on ne connait pas de solutions analytiques en général. Il faut alors résoudre le problème numériquement en transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul (le maillage). II-Objectif du travail : L’objectif de ce projet est d’étudier numériquement le problème suivant : On considère un four représenté par un domaine Ω=Ωa∪Ωc ⊂ IR, la frontière ∂Ω, comportant un certain nombre de résistances électriques. On Page 3 sur 25 se propose de chercher la consigne en température des résistances de sorte que la température dans une pièce placée à l’intérieur du four soit proche d’une consigne Tc fixée à l’avance. On suppose que Ω=Ωa∪Ωc avec Ωc représente la pièce à cuir et Ωa= Ω/Ωc est le domaine occupé par l’air. Dans un premier temps, et à partir de la valeur de chaque résistance, on se propose de calculer la température à l’intérieur du four, et en particulier la température de l’objet mis à cuire. Cette première approche est appelée problème direct. Mais en réalité et dans la pratique, le problème inverse consiste à déterminer les valeurs minimales de résistances, considérées comme inconnues, qui donnent une température idéale à la cuisson. C’est l’objet de la deuxième partie du travail. 1-Problème directe : 1.1 Modélisation et formulation du problème : Si on suppose que le four est d’épaisseur négligeable devant sa longueur, on peut considérer que le four est représenté par un segment Ω = ]0,L[ .Le cuisson occupe dans ce cas l’intervalle Ωc=]L/4,3L/4[ de sorte que l’air occupe Ωa=]0,L/4[∪]3L/4,L[ dans le four. on suppose que la température est fixée en deux extrémités du four et qu’elle vaut Tg en x=0 et Td en x=L. ce type de condition est appelée condition aux limites se Dirichlet. On suppose de plus qu’on a Nr résistances r1, r2,………, rNr placées aux points d’abscisses xri , i=1,…,Nr. Chaque résistance est modélisée par un terme source fi qui représente une densité linéique de température. La température en t=0 est T(0,x)=T0 ∀ x ⋴ [0 , L]. La température T(x,t) en un point d’abscisse x au four et en temps t vérifie l’équation de diffusion de la chaleur 1D suivante : (∂T/∂t) – (∂/∂x)(k*(∂T/∂x))=f(x) T(0,t)=Tg T(L,t)=Td , ∀t≥0 Page 4 sur 25 T(x,0)=T0 , ∀ x ⋴ Ω 1.2 Calcul sans ajout de résistances : a-Partie théorique : On pose k=cste sur tout l’intervalle [0,L] et on se propose de résoudre le problème suivant : Il faut chercher un équivalent à T’’(xi) Figure : Représentation 1D du domaine d’étude Soit , * ,  En appliquant la formule de Taylor, on aura : Page 5 sur 25 On note  Pour i = 1  Pour i = N D’où AT=F  = avec A = Page 6 sur 25 b-Sous Matlab : k = 1 ; L = 2 ; N= 40 (plus que N augmente plus que la solution est optimale) ; = 0 ; = 0 ; f = On se propose tout d’abord de tracer la courbe de la solution approchée en utilisant l’algorithme suivant : Page 7 sur 25 Cherchons la solution exacte - =1 -x + a  T(0)=0  b=0 T(L)=0   a = D’où x Page 8 sur 25 On trace les deux solutions (exacte et approché) sur la même courbe et on remarque que les deux courbes sont confondues donc on peut conclure que l’erreur est négligeable.  Si : Page 9 sur 25 k = 1 ; L = 2 ; N= 2 ; = 50 ; = 100 ; f = Soit T(0)=100 et T(L)=50 Page 10 sur 25 1.3 Calcul avec une seule résistance : Page 11 sur 25 (S) : Problème homogène (sans terme source) On a déjà   Page 12 sur 25   = Page 13 sur 25 Le scipt est : Page 14 sur 25 Et la courbe est : Page 15 sur 25 La variation de la pente de la courbe est due au changement de la résistance dans les domaines et . On a choisi N =4n – 1 pour avoir une répartition régulière le long du l’intervalle ]0,L[ et un pas de discrétisation égale à h = L/ N+1 On place la résistance en x = 0.2 L et on cherche ensuite la température du four tel que : Page 16 sur 25 Le pic de la courbe correspond à la température où est placée la résistance (X = Xr1) Puis on place une autre résistance en X = 0.8 L et on note Xr2 la position de la 2ème résistance donc la densité linéique f(x) s’écrit de la forme : Page 17 sur 25 2-Problème inverse : On suppose qu’on a une idée sur la température de cuisson et les positions :xr1,……………………,xrn des résistances ri. Peut –on déterminer les valeurs des résistances ri pour atteindre Tc sur Ωc ce qui revient à minimiser la fonction suivante : J : r PI  min J(r) 2-a cas d’une seule résistance : Xr1 = 0.2 , Tc=250 °C Tg=Tc sur ]L/4,3L/4[ Page 18 sur 25 = On a ( ) + ( ) + ) = a + b + c a= = Page 19 sur 25 2-b Cas de deux résistances : + + + + + - - - La fonction quadratique objective J s’écrit : J(r) = Page 20 sur 25 Avec la matrice (IR) et le vecteur sont donnés par Après discrétisation on obtient : h , = h et c = Comme la matrice est symétrique, définie et positive, alors r = est minimum de J sur si et seulement si r est solution du système suivant : r = Ainsi la résolution du système précédent nous permettra d’obtenir r = optimale nommée ou . Page 21 sur 25 3- Problème de la chaleur : a-Régime stationnaire : Le problème stationnaire de l’équation de chaleur est le suivant : – (∂/∂x)(k*(∂T/∂x))=f(x) Tst(0)=Tg Tst(L)=Td Tst(x)= TH(x) + r1T1(x) + r2T2(x) Où k désigne le conductivité thermique, qui est égale à ka=1 dans l’air Ωa et kc=10 dans la pièce à cuir Ωc. b-Régime transitoire : Page 22 sur 25 (∂Ttr/∂t) – (∂/∂x)(k*(∂Ttr/∂x))=0 Trt(0,t)=0 , ∀t≥0 Ttr(L,t)=0 , ∀t≥0 Trt(x,0)= T0- Tst(x) , ∀ x ⋴ Ω Page 23 sur 25 Page 24 sur 25 Conclusion : la solution de l’équation de chaleur est : Tchaleur(x,t)= Ttr(x,t)+ Tst(x,t) III-Conclusion : Ce projet illustre bien l’importance des méthodes numériques pour la résolution des problèmes mathématique, leur variétés, et permet de constater le peu de différences concernant les solutions proposées par chaque méthode, d’où leur efficacité. D’autre part, il nous a été très utile de travailler sur ce projet, sachant que d’une part on a pu mieux concevoir l’idée de devoir résoudre un tel problème mathématique, et d’un autre côté se familiariser davantage avec un outil important pour un élève ingénieur qu’est le Matlab, et ainsi reconnaitre son utilité. Page 25 sur 25 uploads/Geographie/ projet-danalyse-numerique.pdf