TS - Lycée Desfontaines Chap.10: Probabilités S’entrainer plus Conditionnement

TS - Lycée Desfontaines Chap.10: Probabilités S’entrainer plus Conditionnement et indépendance Exercice 1 : Une agence de voyage propose à sa clientèle deux formules : -une formule hôtel comportant transport et hébergement. -une formule club comportant transport, hébergement, circuit et animation. Une étude montre que 30% des clients choisissent la formule hôtel et 70% la formule club. D’autre part, parmi les clients ayant choisi la formule hôtel, 80% effectue leur voyage en France et 20% à l’étranger.Enfin, parmi ceux ayant choisi la formule club, 40% effectuent leur voyage en France et 60% à l’étranger. Un client se présente à l’agence. 1. Calculer la probabilité pour qu’il choissise un voyage à l’étranger. 2. Le client demande un voyage à l’étranger ; calculer la probabilité pour qu’il prenne la formule club. Exercice 2 : Lors d’une épidémie, 35% des animaux d’un élevage sont atteints par une maladie. Un test est effectué : La probabilité pour qu’un animal malade ait une réaction positive est 0.9 et la probabilité pour qu’un animal sain ait une réaction négative est 0.8. Pour un animal considéré au hasard, on note : M l’événement « être atteint par la maladie» et R l’événement « Avoir une réaction positive» 1. (a) Déterminer la probabilité qu’un animal ait une réaction positive . (b) Déterminer la probabilité qu’un animal ayant une réaction positive soit malade. (c) Déduire la probabilité pour qu’un animal ayant une réaction positive soit sain. 2. Déterminer la probabilité pour qu’un animal ayant une réaction négative soit malade. Exercice 3 Antilles-Guyanne, Juin 2005 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie. Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies. 40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages. 1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est : a. 0, 4 b. 0, 75 c. 1 150 2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est : a. 0, 3 b. 0, 8 c. 0, 4 3. La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est a. 1, 15 b. 0, 4 c. 0, 3 4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est : a. 0, 9 b. 0, 7 c. 0, 475 5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est : a. 4 150 b. 12 19 c. 0, 3 6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est : a. 1 −(0, 25)20 b. 20 × 0, 75 c. 0, 75 × (0, 25)20 Exercice 4 :(Antilles-Guyane, Juin 2002 ACO3p41 ) Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été. On sait que 20% des chaudières sont sous garantie. Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1 100 . Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1 10 . On appelle G l’événement suivant : « la chaudière est sous garantie». 1. Calculer la propabilité des événements suivants : A : « la chaudière est garantie et est défectueuse». B : « la chaudière est défectueuse ». 2. Dans un logement, la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu’elle soit sous garantie est de 1 41. 3. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse. Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. 4. Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 5 chaudières défectueuses. Quelle est la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles soit sous garantie ? C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/6 Exos TS - Lycée Desfontaines Chap.10: Probabilités Exercice 5 : Des observations d’un gardien de but permettent d’estimer que lors d’une séance de tir : - La probabilité pour que le 1er tir soit arrêté est 0.7. - La probabilité pour que, le n-ième tir étant arrêté, le (n + 1)ième est arrêté, est 0.8. - La probabilité pour que, le n-ième tir n’étant pas arrêté, le (n + 1)ième est arrêté, est 0.6. On notera pn la probabilité de l’événement An : « le nième tir est arrêté». 1. (a) Donner les probabilités déduites de l’énoncé. (b) Exprimer en fonction de pn la probabilité pour que le nième tir et le (n + 1)ième tir soient arrêtés. (c) Exprimer pn+1 en fonction de pn. 2. On considère la suite (Un) définie pour n ≥1 par Un = pn −0.75. (a) Démontrer que (Un) est une suite géométrique. (b) Exprimer pn en fonction de n. (c) Etudier la limite de la suite (pn). Exercice 6 :(Asie, juin 2002 ACO3p56 ) Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier naturel n ≥1, on note En l’événement : « Amélie est arrêtée par le n ième feu rouge ou orange » et En l’événement conraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soit pn la probabilité de En et qn celle de En. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1 8. On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : • la probabilité que le n + 1ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange vaut 1 20 . • la probabilité que le n + 1ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est vert vaut 9 20. 1. On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores. (a) Faire un arbre pondéré illustrant la situation. (b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux premiers feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de X. (c) Calculer l’espérance de X. 2. On se place maintenant dans le cas général. (a) En remarquant que En+1 = (En+1 ∩En) ∪(En+1 ∩En), montrer que, pour tout n ≥1, pn+1 = 1 20pn + 9 20 qn. (b) En déduire l’expression de pn+1 en fonction de pn. 3. Soit la suite (un) de nombres réels définie pour tout entier naturel n ≥1 par : un = 28pn −9. (a) Montrer que (un) est une suite géométrique et déterminer sa raison k. (b) Exprimer un puis pn en fonction de n. (c) Déterminer la limite, si elle existe, de pn, quand n tend vers +∞. Donner une interprétation de ce résultat. Exercice 7 :(Liban, juin 2003 ACO4p153 ) Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n −1 premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage. 1. Calculer les probabilités p2, p3 et p4. 2. On considère les événements suivants : Bn : « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage», Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n −1 premiers tirages », (a) Calculer la probabilité de l’événement Bn. (b) Exprimer la probabilité de l’événement Un en fonction de n. (c) En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : pn = n −1 4 ×  2 3 n . 3. On pose Sn = p2 + p3 + · · · + pn. (a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a Sn = 1 −(n 2 + 1) ×  2 3 n . (b) Déterminer la limite de la suite (Sn). C.Gontard-C.David-H.Meillaud 2/6 Exos TS - Lycée Desfontaines Chap.10: Probabilités S’entrainer plus Les combinaisons Exercice 8 : (D’après Hyperbole p392) On tire au hasard 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. On appelle « main » l’ensemble des 5 cartes obtenues. 1. Quel est le nombre de « mains » différentes ? 2. Quel est le nombre de « mains » contenant 4 as ? 3. Quel est le nombre de « mains » contenenant un as exactement ? uploads/Geographie/ proba-cours-amp-tds.pdf

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