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La répartition des valeurs propres des matrices de Tœplitz Nicolas Tosel1 Notes

La répartition des valeurs propres des matrices de Tœplitz Nicolas Tosel1 Notes ... Tosel1 Professeur en classe de MP au lycée du Parc, Lyon. z Partie I INTRODUCTION ET NOTATIONS z Partie II Interprétation de appartenance des à z Partie III Une inégalité de convexité z Partie IV Le cas où z Partie V Fin de la démonstration z Partie VI Quelques remarques z Bibliographie Partie I INTRODUCTION ET NOTATIONS Soit le cercle unité du plan complexe. Si dans dans , on pose : On fixe, une fois pour toutes, une fonction mesurable et bornée sur , à valeurs réelles, que l'on note . On note (resp. ) la borne inférieure (resp. supérieure) de , et l'intervalle . Le cas évident où est contante est exclu dans les preuves. Pour dans , soit le coefficient de Fourier d'indice de . Si est dans , on désigne par la matrice de : Page 1 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... La matrice est appelée matrice matrice de T plitz associée à . Puisque est à valeurs réelles, est hermitienne et on peut noter : son spectre ordonné. Dans plusieurs articles, G. Szegö a étudié la répartition de ce spectre lorsque . Les deux références principales sont deux textes reproduits dans [4] sous les numéros 17.1 (en hongrois) et 20.3 (en allemand). Pour énoncer le résultat essentiel de ces travaux, on note désormais, si est une fonction continue de dans et : On a alors le : Théorème 1 (G. Szegö, 1917). Les sont dans , et, pour toute fonction continue de dans , on a : La méthode de Szegö part d'une expression du déterminant de comme intégrale multiple permettant d'établir, si : Cette relation est, bien sûr, le cas particulier du théorème pour lequel . Elle permet d'obtenir le cas général par un argument d'approximation consistant, au fond, en la densité, dans l'espace des fonctions continues nulles en sur normé uniformément, du sous-espace engendré par les fonctions pour dans . En fait, la rédaction de Szegö est un peu différente ; de la validité du théorème pour les fonctions précédentes, il déduit le cas où est un polynôme avant de conclure par le théorème d'approximation de Weierstrass. On se propose ici d'indiquer une autre preuve du théorème précédent. La démarche adoptée ici est partiellement inspirée d'un autre article de Szegö, portant, cette fois, sur les matrices de Hankel (référence 18-1 dans [4]). Précisément, on a conservé de ce dernier article l'idée d'utiliser une inégalité de convexité, tout en simplifiant un peu la partie « approximation » de la démonstration que, dans le travail de Szegö, repose sur la densité, dans l'espace susmentionné, du sous-espace engendré par les fonctions pour . Page 2 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... Le paragraphe II interprète géométriquement , ce qui rend évidente l'appartenance des à . La preuve du théorème est conduite dans les paragraphes III à V, selon l'ordre suivant : comparaison de et de si est convexe, cas particulier où , conclusion. Le paragraphe VI est consacré à quelques remarques. Partie II Interprétation de appartenance des à On munit du produit hermitien canonique, que l'on note , et de la norme associée. Si est dans , la fonction est définie sur par : La famille est une base hilbertienne de . Si , on note le sous-esapce de engendré par les pour dans ; la projection orthogonale de sur est désignée par . À on attache l'endomorphisme hermitien de défini par : et la forme associée, donnée par : Il est clair que est la matrice, dans la base orthonormée de , de la restriction de à . Autrement dit, est la matrice, dans la base de , de l'endomorphisme de défini par : Maintenant, il est clair que : Page 3 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... Ces considérations entraînent aussitôt l'appartenance des au segment . Partie III Une inégalité de convexité Nous allons utiliser, dans ce paragraphe, une base de diagonalisation de l'endomorphisme . Précisément, soit une base orthonormée de telle que : Pour tout de , on décompose sur la base de en : La matrice de est alors unitaire comme matrice de passage entre deux bases orthonormées de l'espace . Cette observation est cruciale pour la preuve du : Lemme 1 Si , si est une fonction convexe de dans , on a l'inégalité : [On part de l'expression : , valable pour . Vu que , l'inégalité de Jensen implique : D'où : Mais : Page 4 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... Ceci achève la démonstration. Partie IV Le cas où Dans cette partie et la suivante, désignera la fonction définie sur par : Pour , le théorème peut être établi par un calcul direct utilisant l'égalité de Parseval. Lemme 2 On a : [On munit de la norme de Hilbert-Schmidt, définie par : qui est invariante par conjugaison unitaire. On en tire : Mais la formule de Parseval garantit que : Il reste donc, pour conclure, à vérifier : Compte tenu de la convergence de la série , cette relation s'obtient facilement par Page 5 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... sommation d'Abel. On pose, en effet : de sorte que : et que : Le théorème de Cesaro, et la convergence de vers montrent alors que : C'est le résultat voulu.] Partie V Fin de la démonstration Soit l'espace des fonctions continues de dans , normé uniformément. Les formes linéaires pour dans sont toutes de norme , et en particulier forment une famille équicontinue. Il suffit donc, pour prouver le théorème, de se restreindre à des appartenant à un sous-espace dense dans . On va établir le résultat si est de classe sur , en utilisant uniquement les lemmes 1 et 2. Soit donc une fonction de classe de dans . On fixe un réel , de sorte que les fonctions et sont convexes sur , et que le lemme 1 fournit : Mais le lemme 2 assure : . Page 6 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... De cette convergence et des deux inégalités ci-dessus, on tire : ce qui achève la démonstration. Partie VI Quelques remarques Un cas particulier Si est un polynôme trigonométrique de degré 1, la matrice est tridiagonale. Il est possible de calculer explicitement son polynôme caractéristique (à l'aide des polynômes de Tchebycheff de deuxième espèce) et ses valeurs propres. Ce cas est donné en guise d'exemple dans l'article 20.3 de [4], repris sous forme d'exercice dans [3]. Une extension Par des encadrements de routine, on peut généraliser le théorème comme suit. Théorème 2 Soient une fonction continue par morceaux sur , l'ensemble des points de discontinuité de . Si, pour tout de , l'ensemble est une partie négligeable de , on a : L'intérêt de cet énoncé (explicité par Szegö) est de s'appliquer, sous réserve de l'hypothèse de négligeabilité, aux fonctions caractéristiques d'intervalles. Application à un problème d'approximation Szegö a obtenu, comme conséquence du théorème dont il est ici question, la solution d'un problème de minimisation conduisant naturellement à un théorème classique et important en théorie de l'approximation. On va décrire succinctement son argument, en laissant les détails aux lecteurs. On suppose, dans ce 3., . Pour , soit le minimum de sur l'hyperplan affine de . La suite est décroissante positive, donc convergente. On va en calculer la limite. On commence par vérifier que : Page 7 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... Les formules de Cramer permettent alors d'écrire comme quotient de deux déterminants. En explicitant, on aboutit à : Puisque la suite converge, sa limite est, nécessairement : Ainsi : Si désigne l'espace de Hardy usuel, ce résultat se paraphrase en : Cette dernière égalité s'étend sans difficulté au cas où est simplement supposée intégrable positive, à condition d'interpréter comme nul si On peut alors obtenir le résultat d'approximation susmentionné. Soit l'espace des fonctions mesurables de dans telles que ; on munit du produit scalaire (non forcément défini) : Dans cet espace, est adhérent à si et seulement si Page 8 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... Si tel est le cas, chaque ( ) est également adhérent à , et ce sous- espace est, en fin de compte, dense dans . Prolongements Le calcul de borne inférieure et le théorème d'approximation de 3. admettent des preuves plus directes, des extensions avec , de nombreuses applications à des problèmes de densité. On trouvera beaucoup de renseignements sur ces sujets dans [1] et [2]. Bibliographie 1 N. Achiezer, Theory of Approximation, Dover. 2 K. Hoffmann, Banach spaces of analytic functions, Dover. 3 G. Polya et G. Szegö, Problems ans Theorems in Analysis, Springer. 4 G. Szegö, Collected Works, Vol. 1, Birkhaüser. Page 9 sur 9 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=436&Type=enonce&Num=0&Mode=... uploads/Geographie/ 112-3-2-pdf.pdf