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CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des sy

CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes PTSI Lycée Dhuoda TD : Pompe à Piston Radial Page 1 sur 8 TD– Théorie des mécanismes Pompe à piston radial Corrigé 1. Introduction La figure ci‐dessous présente l’écorché d’une pompe moyenne pression à piston radial. Réel Modélisation Une proposition de schéma de fonctionnement de la pompe moyenne pression figure ci‐dessus. Objectifs :  Calcul de l’hyperstatisme  Evidence géométrique de cet hyperstatisme  Rendre un modèle isostatique  Lister les défauts 2. Travail demandé Question 1: Etablir le graphe de liaisons de la pompe. Le nombre de chaine dépend directement du schéma cinématique et donc des modèles adoptés. Dans le cas où il aurait été choisi de décomposer la liaison entre l’arbre moteur 2 et le carter 1 en deux liaisons, l’une rotule et l’autre sphère cylindre, le graphe des structures aurait mis en évidence plusieurs boucles. Question 2: Calculer le nombre cyclomatique ࢽdans les deux cas. ߛൌ݈െ݊൅1 ൌ1 ߛൌ݈െ݊൅1 ൌ2 1 2 3 Pivot ሺܱଵ, ݖଵ ሬሬሬԦሻ Pivot glissant ሺܱଵ, ݕଵ ሬ ሬ ሬ ሬԦሻ Linéaire rectiligne normaleሺE, ݕଵ ሬ ሬ ሬ ሬԦሻ contactሺE, ݖଵ ሬሬሬԦሻ CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes PTSI Lycée Dhuoda TD : Pompe à Piston Radial Page 2 sur 8 A partir du schéma cinématique, un paramétrage est introduit.Les données géométriques sont des dimensions à priori fixes (ou éventuellement réglables) :  ݁ൌ0ଵܥ ;  ݎ : rayon extérieur du roulement prenant appui sur la partie supérieure du piston (3)  h : position relative des liaisons d’entrées et de sortie du carter Les paramètres géométriques sont les degrés de libertés qui caractérisent la position des éléments du mécanisme en fonction du temps :  k : position axiale du piston par rapport à l’arbre du carter  ߙ : position angulaire de l’arbre d’entrée par rapport au carter Question 3: Calculer h et m  Approche cinématique a) Ecrire les torseurs cinématiques de chacune des liaisons. ൛ࣰଶ/ଵൟൌ ቐ 0 0 0 0 ߱ଶ/ଵ ௭ 0 ቑ ࣜభ ଴భ ൛ࣰଷ/ଶൟൌ ൞ 0 ܸ ா,ଷ/ଶ ௫ ߱ଷ/ଶ ௬ 0 ߱ଷ/ଶ ௭ ܸ ா,ଷ/ଶ ௭ ൢ ࣜభ ா ൛ࣰଷ/ଵൟൌ ൝ 0 0 ߱ଷ/ଵ ௬ ܸ ைభ,ଷ/ଵ ௬ 0 0 ൡ ࣜభ ைభ ܫ௖ൌ7 b) Ecrire les 6 équations provenant de la fermeture de la chaine cinématique en O1 ࡱࢉൌ6. γ ൌ6 ൛ࣰ ଵ/ଶൟ൅൛ࣰଶ/ଷൟ൅൛ࣰଷ/ଵൟൌሼ0ሽ ቐ 0 ൌ0 ሺ1ሻ െ߱ଷ/ଶ ௬ ൅߱ଷ/ଵ ௬ ൌ0 ሺ2ሻ െ߱ଶ/ଵ ௭ െ߱ଷ/ଶ ௭ ൌ0 ሺ3ሻ ൞ െܸ ா,ଷ/ଶ ௫ ൅߱ଷ/ଶ ௭ . ሺݎ൅݁. sin ߙሻൌ0 ሺ4ሻ െ߱ଷ/ଶ ௭ . ݁. cos ߙ൅ܸ ைభ,ଷ/ଵ ௬ ൌ0 ሺ5ሻ െܸ ா,ଷ/ଶ ௭ ൅߱ଷ/ଶ ௬. ݁. cos ߙൌ0 ሺ6ሻ c) En déduire le degré d’hyperstatisme du système. 5 équations indépendantes : ⇒ݎ ௖ൌ5 L’équation (1) du système n’est pas significative. Elle correspond à un déficit global du mécanisme en rotation autour de l’axe ݔ Ԧ ݉ൌܫ௖െݎ ௖ൌ2  mu = 1 (le mouvement d’entrée sortie)  mi = 1 (la rotation propre du piston)  m = mu+mi=1+1=2. ݄ൌܧ௖െݎ ௖ൌ1 CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes PTSI Lycée Dhuoda TD : Pompe à Piston Radial Page 3 sur 8  Approche statique d) Ecrire les torseurs des actions mécaniques. ሼ߬ଵ→ଶሽൌ ൝ ܺை ܮை ܻ ை ܯை ܼை 0 ൡ ࣜభ ଴భ ሼ߬ଷ→ଶሽൌ ൝ 0 ܮா ܻ ா 0 0 0 ൡ ࣜభ ா ሼ߬ଵ→ଷሽൌ ൝ ܺு ܮு 0 0 ܼு ܰு ൡ ࣜభ ு ܫ௦ൌ11 a) Ecrire les 6 équations provenant du PFS en isolant 2 puis 3 ܧ௦ൌ6. ሺ݊െ1ሻൌ12 Equilibre de 2 (moment en O1) ሼ߬ଵ→ଶሽ൅ሼ߬ଷ→ଶሽ൅ሼ߬௠௢௧௘௨௥→ଶሽൌሼ0ሽ ቐ ܺைൌ0 ሺ1ሻ ܻ ை൅ܻ ாൌ0 ሺ2ሻ ܼைൌ0 ሺ3ሻ ቐ ܮை൅ܮாൌ0 ሺ4ሻ ܯைൌ0 ሺ5ሻ ܥ௠െܻ ா. ݁. cos ߙൌ0 ሺ6ሻ Equilibre de 3 (moment en H) ሼ߬ଶ→ଷሽ൅ሼ߬ଵ→ଷሽ൅൛߬௙௟௨௜ௗ௘→ଷൟൌሼ0ሽ ቐ ܺுൌ0 ሺ7ሻ ܨ ௣െܻ ாൌ0 ሺ8ሻ ܼுൌ0 ሺ9ሻ ቐ ܮுെܮாൌ0 ሺ10ሻ 0 ൌ0 ሺ11ሻ ܰுെܻ ா. ݁. cos ߙൌ0 ሺ12ሻ b) En déduire le degré d’hyperstatisme du système. Equation 11 n’est pas significative et (6) et (8) sont linéairement dépendantes ݎ ௦ൌ10 ݉ൌܧ௦െݎ ௦ൌ12 െ10 ൌ2 ݄ൌܫ௦െݎ ௦ൌ11 െ10 ൌ1 Résolution ࣦଵ,ଶ ܺைൌ0 ܻ ைൌെܨ ௣ ܼ଴ൌ0 ܮைൌ? ܯைൌ0 െ ࣦଷ,ଶ െ ܻ ாൌܨ ௣ െ ܮாൌ? െ െ ࣦଵଷ ܺுൌ0 െ ܼுൌ0 ܮுൌ? െ ܰுൌെ݁. ܨ ௣. cos ߙ Après résolution, on constate une indétermination des composantes de moments L.݄ൌ1 La famille d’inconnues hyperstatiques est celle des moments selon l’axe x CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes PTSI Lycée Dhuoda TD : Pompe à Piston Radial Page 4 sur 8 Par contre dans le plan de fonctionnement, toutes les actions sont calculables. Leur représentation figure ci‐dessous. La relation entrée‐sortie du système peut être déterminée :ܥ௠ൌ݁. ܨ ௣. cos ߙ. La position qui nécessite le plus de couple est pourࢻൌ૙, c'est‐à‐dire lorsque l’excentrique « est à l’horizontale », en début de compression. Le couple moteur minimal devra donc être supérieur à ࢋ. ࡲ࢖.  Evidence géométrique de l’hyperstatisme On notera que le problème de l’hyperstaticité apparait ici dans le plan ሺܱଵ, ݕଵ ሬ ሬ ሬ ሬԦ, ݖଵ ሬሬሬԦሻ orthogonal au plan de fonctionnement. Donc le défaut précédent n’empêche pas le mécanisme de fonctionner mais ceci se fera dans des mauvaises conditions si certaines précautions ne sont pas prises. Ici à la famille d’inconnues Li correspond un défaut ࣂ࢞qui engendre les moments LO, LE et LD respectivement dans les liaisons en O1, en E et en D. Ce défaut peut provenir de chacune des pièces et non d’une pièce particulière. C’est le propre des chaines de pièces en série. La figure ci‐contre montre l’influence du défautࣂ࢞, par exemple s’il est localisé au niveau de l’alésage du carter (1). Ce défaut engendre des efforts et des déformations au niveau de chaque pièce. En se reportant au système d’équation de statique, on constate que si Fp et Cm sont nuls, l’hyperstaticité demeure et que l’influence du défaut reste entière. L’hyperstaticité est un problème structurel en particulier dans le choix des liaisons et non un problème d’efforts extérieurs exercés sur le mécanisme. On en conclut que l’influence du ou des défauts nuisibles apparait dès le montage et engendre des autocontraintes dans les pièces. Ces autocontraintes s’ajoutent aux contraintes mécaniques dues aux actions extérieures (couple moteur, action du fluide) et la tenue des pièces s’en ressent ainsi que le rendement du mécanisme (par exemple le moment LH entre le piston et le cylindre accroit les pertes énergétiques car il génère des charges radiales qui, par conjugaison du frottement et du glissement, entrainent des pertes calorifiques). CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes PTSI Lycée Dhuoda TD : Pompe à Piston Radial Page 5 sur 8 La figure ci‐dessus montre, pour chaque pièce, les inconnues de liaison de la famille Li en place. Les déformations ont été amplifiées et suggèrent les autocontraintes qui vont naître dans chacune des pièces. CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes PTSI Lycée Dhuoda TD : Pompe à Piston Radial Page 6 sur 8  Rendre l’assemblage isostatique Ici la famille des inconnues hyperstatiques est celle des Li, les défauts géométriques correspondants sont ࣂ࢞ donc il faut ajouter 1 degré de liberté du type rotation à l’une des liaisons. La liaison modifiable estL2‐3, les deux autres ayant des fonctions qui ne permettent pas d’ajout de degré de liberté. La liaison L2‐3 peut être transformée en contact ponctuel pour rendre le mécanisme isostatique. Le schéma d’un mécanisme isostatique est représenté ci‐dessous (première figure). En réalité, le roulement rigide à une rangée de billes en C (rotulage très faible de 5’) est remplacé par un roulement à rotule (rotulage important 3°), seconde figure. Question 4: Montrez que ces deux schémas sont bien équivalents. ൛ࣰଷ/ଶൟ ௦௢௟௨௧௜௢௡ଵ ൌ ൞ ߱ଷ/ଶ ௫ ܸ ஼,ଷ/ଶ ௫ ߱ଷ/ଶ ௬ 0 ߱ଷ/ଶ ௭ ܸ ஼,ଷ/ଶ ௭ ൢ ࣜభ ஼ ൛ࣰଷ/ଶൟ ௦௢௟௨௧௜௢௡ଶ ൌ ൞ ߱௥௢௧௨௟௘/ଶ ௫ 0 ߱௥௢௧௨௟௘/ଶ ௬ 0 ߱௥௢௧௨௟௘/ଶ ௭ 0 ൢ ࣜభ ஼ ൅ ൞ 0 ܸ ஼,ଷ/௥௢௧௨௟௘ ௫ ߱ଷ/௥௢௧௨௟௘ ௬ 0 0 ܸ ஼,ଷ/௥௢௧௨௟௘ ௭ ൢ ࣜభ ஼ ൌ ൞ ߱௥௢௧௨௟௘/ଶ ௫ ܸ ஼,ଷ/௥௢௧௨௟௘ ௫ ߱௥௢௧௨௟௘/ଶ ௬ ൅߱ଷ/௥௢௧௨௟௘ ௬ 0 ߱௥௢௧௨௟௘/ଶ ௭ ܸ ஼,ଷ/௥௢௧௨௟௘ ௭ ൢ ࣜభ ஼ CI.6 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes PTSI Lycée Dhuoda TD : Pompe à Piston Radial Page 7 sur 8  Détermination intuitive de h On peut rechercher la famille d'inconnues hyperstatiques de façon intuitive. Une méthode subjective consiste à recenser les défauts gênant le montage de (3) dans (1). Autrement dit, il s'agit de déterminer la (ou les) composantes du torseur des petits déplacements de (3) par rapport à (2) nuisibles au point D : ൛ܦଷ/ଵൟൌ ቐ ߜߠ௫ ߜܦ௫ ߜߠ௬ ߜܦ௬ ߜߠ௭ ߜܦ௓ ቑ ࣜభ ஽  Défauts de type angulaire :  défautࢾࣂ࢟ : la position angulaire du piston (3) par rapport à l'alésage de (1), selon ࢟૚ ሬሬሬሬԦ, n'a pas l'influence compte tenu du degré de liberté de la liaison pivot glissant de sortie et aussi du degré de liberté de la liaison linéaire rectiligne en E (un seul degré de liberté aurait suffi, les deux degrés mettent en évidence l'existence d’une mobilité interne) uploads/Geographie/ td-theorie-des-mecanismes-pompe-a-piston-radial-corrige.pdf