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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER, BISKRA FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES Thèse présentée en vue de l’obtention du Diplôme de Doctorat en Mathématiques Option : Analyse Numérique et Optimisation Présentée par Ismahène Sehili Titre Méthodes spectrales pour les problèmes aux limites. (Méthodes numériques pour la résolution des EDP avec conditions limites). Soutenue devant le jury composé de : Zohir Mokhtari Pr Univ.Biskra Président Abdelhamid Zerroug MCA Univ.Biskra Directeur de thèse Azedine Rahmoune MCA Univ.BBA Co-directeur de thèse Abdelbaki Merouani Pr Univ.BBA Examinateur Khelil Nacer MCA Univ.Biskra Examinateur 2018 On Numerical Resolution of Boundary Value Problems Using Spectral Methods. ⋄Creation Of Two-Dimensional Legendre Basis And Some Proper- ties. ⋄Bivariate Legendre Approximation. ⋄Two-dimensional Spectral Approximation. AM Laboratory, University of Biskra, Algeria. Abstract. In this work, we introduce a new two-dimensional polynomial basis for approximating bivariate functions. We start this construction by searching the eigenvalues of the Legendre diﬀerential equation in 2D, then this basis was construc- ted using a Rodrigues formula. Eﬃcient numerical results are obtained by the approximation of some bivariate functions in this basis, and compared by the least squares method with the Cheby- chev polynomials. We propose, also, a generalization of the spectral Tau method in dimension 2, this method is generalized by the use of a new two-dimensional poly- nomial basis constructed by a three terms recurrence relation. We also present an estimation of error committed by the proposed method. Key words. Two-dimensional Legendre basis, Rodrigues construction, Recurrence construction Approximation in 2D, Bi-spectral method, Error Estimation, Stability. Abstrait. Dans ce travail, nous introduisons une nouvelle base polynomiale bidi- mensionnelle pour l’approximation des fonctions bivariées. Nous commençons cette construction en recherchant les valeurs propres de l’équation diﬀérentielle de Le- gendre en 2D, puis cette base a été construite en utilisant une formule de Rodrigues. Des résultats numériques eﬃcaces sont obtenus par l’approximation de certaines fonctions bivariées dans cette base, et comparés par la méthode des moindres carrés avec les polynômes de Chebychev. Nous proposons, aussi, une généralisation de la méthode spectrale Tau en dimension 2, cette méthode est généralisée par l’utilisa- tion d’une nouvelle base polynomiale bidimensionnelle construite par une relation de récurrence à trois termes. Nous présentons également une estimation de l’erreur commise par la méthode proposée. Mots clés. Base bidimensionnelle de Legendre, Construction de Rodrigues, Construc- tion de récurrence, Approximation en 2D, Méthode bi-spectrale, Estimation d’erreur, Stabilité. Remerciement Je tiens tout d’abord à remercier Allah de m’avoir donné la patience pour ac- complir ce petit travail. Je voudrais remercier vivement mon promoteur Dr.Abdelhamid ZERROUG pour avoir accepté de diriger ce travail, pour sa gentillesse, sa bonne volonté, sa dis- ponibilité et sa patience ainsi ces orientations et ces guidances avisés et son soutient indéfectible durant la préparation de ce travail, dès le début de sa conﬁance à mon égard et à mon travail m’a donnée une énergie et une inspiration de soulever toutes les diﬃcultés. J’adresse mes remerciements les plus sincères à mon co-encadreur Dr.Azedine RAHMOUNE pour les conseils qu’il m’a prodigué durant mon parcourt universi- taire et le temps précieux qu’il m’a consacré durant ce travail. J’adresse mes sincères remerciements à monsieur Pr.Zohir MOKHTARI, qui m’a fait l’honneur d’accepter de présider ce jury. Je remercie chaleureusement, monsieur Pr.Abdelbaki MEROUANI, et Dr.Khelil NACER de m’avoir fait l’honneur d’accepter de faire partie de ce jury. Mes remerciements vont à tous ceux qui ont contribué à la réalisation de ce travail et plus particulièrement à monsieur Naziheddine BELKACEM et monsieur Adel ABESS. Merci à toutes les personnes qui sont venues assister à ma soutenance. Dédicace À mon papa, mon marie Diddine et mon frère Ach. À mes sœurs Loulou, Assoum et Minou. À l’âme de ma mère ... À ma petite Rahaf :) Je dédie ce travail Table des matières 1 Préliminaires 5 1.1 Généralités sur les équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Exemples d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Conditions de Dirichlet, de Neumann et de Robin . . . . . . . 10 1.1.3 Modélisation, discrétisation et simulation numérique . . . . . 12 1.1.4 Consistance, convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5 Notion de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Exemples de fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Polynômes orthogonaux de Chebychev . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.3 Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.4 Polynômes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Fondements des méthodes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1 Pourquoi les méthodes spectrales ? . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2 Décomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Choix des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.4 Les deux royaumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.5 La non-linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Méthodes spectrales de base 32 2.1 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Méthode Tau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Méthode de collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Méthode Tau-Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Exemples des méthodes spectrales 47 3.1 Méthode de Fourier-Galerkin pour l’équation d’onde . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Stabilité et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Méthode de collocation Chebychev pour l’équation de la chaleur . . . 51 3.2.1 Stabilité et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II 3.3 Méthode de Tau-Legendre pour l’équation de Poison . . . . . . . . . 58 3.4 Méthode spectrale de collocation pour les (EDP) paraboliques avec des conditions aux limites de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.1 Méthode pseudo-spectrale de Chebychev . . . . . . . . . . . . 61 3.4.2 Résolution d’une équation parabolique . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Base bidimensionnelle de Legendre et Approximation 67 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Première construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Construction de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4 Construction récursive . . . . . . . . uploads/Geographie/ these-doctorat-spectral-pr-ls-edps.pdf