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Le Nombre d'Or ◊ Introduction au Nombre d'Or Phidias, parrain du Nombre d'Or Le

Le Nombre d'Or ◊ Introduction au Nombre d'Or Phidias, parrain du Nombre d'Or Le Nombre d'Or doit son nom au sculpteur Phidias, représentant du premier Classicisme de la Grèce Antique. En 460 avant Jésus-Christ, son mécène et ami Périclès lui confia les travaux de l'Acropole (notamment du Parthénon). Sa maîtrise des proportions était remarquable. Ainsi, il surprit les habitants d'Athènes par une statue d'Athéna qui leur parut bien maladroite à même le sol. Mais une fois juchée sur son socle, Athéna devint divine à leurs yeux. À la fin de sa vie, le parrain du Nombre d'Or, Phidias, fut victime de mauvais procès et des contemporains jaloux le forcèrent à l'exil, en la ville d'Olympie. Au XXème Siècle, dans les années 10, le critique et escrimeur britannique Theodore Andrea Cook (1867-1928) se met d'accord avec son ami mathématicien américain Mark Barr pour introduire la notation de φ (la lettre grecque Phi), comme symbole mathématique du Nombre d'Or en référence à Phidias. Le double argument de la consonance de la lettre φ avec celle de ∏, autant qu'avec le nom du sculpteur rendu célèbre pour sa maîtrise de la proportion dorée, est rapporté par Cook dans son livre « Les courbes de la vie »**. Il fait le compte des formations en forme de spirale et de leur implication dans la croissance de la Nature, dans la Science, et dans l'Art. Et il se réfère tout particulièrement aux travaux de Léonard de Vinci. **Cook, Theodore Andrea, The Curves of Life (1914) p. 420, Courier Dover Publications Différentes appellation du Nombre d'Or 1 - Nombre scandaleux car irrationnel (Platon) 2 - Proportion d'extrême et moyenne raison (Euclide) 3 - Proportion d'Euclide (Fibonacci) 4 - Section dorée (sectio aurea, Vinci) 5 - Divine proportion (selon Pacioli) 6 - Section d'or (der goldene Schnitt, Zeising) 7 - Nombre d'Or (fixé par Ghyka) 8 - Phi ( φ - expression mathématique, Theodore Cook) 9 - Proportion dorée (selon l'usage courant) anglais : Golden ratio - allemand : Der goldene Schnitt 1 sur 11 - Le Nombre d'Or www.jacquier.org Construction géométrique du Nombre d'Or <•— La figure ci-contre est la plus classique de la construction du Nombre d'Or. On y voit notamment la base de Phi : La diagonale d'un double carré introduit la racine du cinq : √5. Un simple report de compas ajoute √5/2 au 1/2 du carré initial de coté 1. Ce qui donne : φ = (1+√5)÷2 ≈ 1, 618 034 ... <•— Ci-contre : Cette deuxième méthode de construction n'est pas connue. Vraisemblablement courante dans l'Antiquité, elle repose sur la maîtrise des angles, base de l'Astronomie et de l'Architecture. En l'occurrence, l'angle de ∏/5 (36°) va chercher sur un cercle de diamètre 2 la proportion dorée φ . Cette figure est à la base des Pentagrammes qui construisent le fameux Polyèdre de Dürer, dans « Melencolia I » (1514). Le calcul du Nombre d'Or La particularité algébrique du Nombre d'Or est dans l'équation Phi² = Phi + 1, et la solution de cette équation est Phi = (1+√5)÷2 ≈ 1,618 034… Ce Nombre est irrationnel, en cela qu'aucune division de nombres entiers ne peut l'égaler. Par contre Phi (φ ) n'est pas transcendant, comme ∏, puisqu'il est le résultat d'une équation polynomiale (X² -X -1 = 0). Concrètement, cela veut dire que l'on peut construire Phi avec la règle et le compas. Corrélat de l'équation de base : 1÷Phi = Phi - 1 (il suffit de diviser les deux branches par Phi) 2 sur 11 - Le Nombre d'Or www.jacquier.org ◊ L'Histoire et le succès du Nombre d'Or Le Nombre d'Or est l'objet d'études innombrables et d'enjeux philosophiques, et même politiques, considérables. À l'origine, il a connu deux développements successifs, jusqu'à son identification mathématique. Le premier est purement géométrique, et il est étroitement lié à l'Art : Peinture, Sculpture et Architecture. On le doit aux Égyptiens. Cet aspect sera amplement développé par la suite, au chapitre de la Géométrie Sacrée du Nombre d'Or. Le second développement du Nombre d'Or est arithmétique. Les Grecs ont assumé le passage de cette propriété purement géométrique jusqu'à sa définition algébrique (et découvert à cette occasion la difficulté de "calculer l'irrationnel"). D'autres les ont suivi : les Mathématiciens Arabes Al-Khawarizmi et Abu Kamil, puis Léonard de Pise dit "Fibonacci", et enfin Lucca Pacioli, qui fait entrer le Nombre d'Or dans une autre dimension : celle du mythe... I - De la pratique de la Géométrie au calcul L'Égypte Antique Le Soleil offre aux Égyptiens un triangle au Nombre d'Or. Le Solstice de Louxor leur révèle le Triangle Sacré : sa bissectrice dorée porte le Nombre d'Or. La Géométrie Sacrée se construit sur ce Triangle aux propriétés magiques, et pendant plus de cinq millénaires le Nombre d'Or et le Triangle Sacré vont lier leur sort pour produire les images et les objets du Sacré. La confusion est grande tant que l'on ignore que la proportion dorée est portée par le Triangle Sacré : en son intimité, sur le Cercle Intime inscrit au triangle. Sans cette coïncidence qui tient du miracle, on ne comprend de la Géométrie que des proportions sans la logique qui les produit. L'harmonie est incomplète. La Grèce Antique - Pythagore (-580, -497) et Euclide (-325, -265) Deux grands mathématiciens grecs ont des rapports avec l'Égypte. Pythagore y fait ses classes, au sixième Siècle avant notre ère, et bien plus tard Euclide (-325,-265) y enseigne les mathématiques, sous Ptolémée Ier. La ville où ce fondateur des Mathématiques Modernes finit ses jours n'est autre qu'Alexandrie, lieu de fusion entre les Civilisations. Euclide est officiellement le premier à évoquer la proportion dorée dans son célèbre ouvrage « Les Éléments » (-300). Il parle de partage entre extrême et moyenne raison (En géométrie, raison veut dire proportion). Le Nombre d'Or n'est encore qu'une 3 sur 11 - Le Nombre d'Or www.jacquier.org propriété géométrique. Dans cet esprit, les Pythagoriciens se seraient investis bien avant lui dans la construction du dodécaèdre de façon empirique, mais l'Historien des Sciences Thomas L. Heath attribue la paternité de la découverte à Platon : « L'idée que Platon commença l'étude (du Nombre d'Or) comme sujet intrinsèque n'est pas sans consistance... ». À ce sujet, Platon doit beaucoup à l'influence de son précepteur, le mathématicien Théodore de Cyrène, qui montre notamment l'irrationalité de √5, donc celle du Nombre d'Or. En fait, les Grecs formalisent par l'arithmétique au fil des siècles, ce que les Égyptiens pratiquaient avant eux avec leur Géométrie empirique. Dans cette conquête, ils se heurtent au problème de l'irrationnel - dont la première approche est la notion de nombres incommensurables, la pierre d'achoppement des Pythagoriciens. L'ambition de la Science est de mesurer les choses. Les Mathématiques ont inauguré ce défi. Des erreurs de traduction et d’interprétation des textes venant des Grecs peuvent expliquer une certaine confusion autour du Nombre d’Or . Ils employent deux termes pour désigner les proportions : symmetria et proportio, leur signification varie selon le domaine considéré, Art ou Géométrie. Cependant, le propos de cet article n'est pas linguistique au sens littéraire. Il est une des étapes dans la compréhension du langage de l'Image, qui peut-être un jour aura sa propre linguistique... Les Arabes - Al-Khawarizmi (783, 850) et Abu Kamil (850, 930) Pour ces deux Mathématiciens, le Nombre d'Or n'est encore que la solution algébrique à des problèmes parmi d'autres. Une sorte de distance se manifeste entre le monde du calcul et le monde de la pratique géométrique où est né le Nombre d'Or. Léonardo Pisano, dit Fibonacci** (1175-1250) Le mathématicien et commerçant Fibonacci propose une suite de nombres entiers. Il s'inspire des travaux d'Abu Kamil, dont il précise la relation avec la "proportion d'Euclide". En revanche, il ne perçoit pas encore que la limite de sa suite comme étant le Nombre d'Or : La Suite de Fibonacci 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 … Chaque nombre est la somme des deux précédents. La division de ce nombre par le précédent se rapproche de Phi au fur et à mesure que la liste s'allonge (tend vers l'infini). Phi est désigné comme “limite” de la suite. ** C'est ce même Fibonacci qui impose le Zéro à l'Europe en 1202, également dans son livre « Liber Abaci ». Il s'adresse plus particulièrement aux commerçants, pour qui 4 sur 11 - Le Nombre d'Or www.jacquier.org cette nouvelle numération est un formidable gain de temps. Les Babyloniens auraient pratiqué le zéro au moins deux siècles avant Jésus Christ. Puis on trouve le chiffre en Inde, à Brahmagupta, au VIIème siècle, et plus tard dans un monde arabe en pleine expansion (il nous transmettra ses chiffres). Le mathématicien Gerbert d'Aurillac assume le passage de l'an mille comme Pape sous le nom de Sylvestre II, mais il échoue à introduire ce « cinq moins cinq ». Le zéro reste objet de suspicions au delà du XIIIème Siècle, essentiellement du fait de ses voyages et "origines"... Gros plan sur la Renaissance Luca Pacioli (1445-1517) dit Luca di Borgo Ce célèbre uploads/Geographie/05-nombre-d-or.pdf