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A 2007 PHYS. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUP

A 2007 PHYS. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2007 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L’usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I –MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : vecteur → A G (gras) ; norme du vecteur V G → V (italique) ; vecteur unitaire → â. Dans toute l’épreuve, exprimer signifie « donner l’expression littérale » et calculer signifie « donner la valeur numérique ». SATELLITES DE TÉLÉCOMMUNICATION On se propose d'étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommunica- tion en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considérera que la Terre est une sphère homogène de rayon RT et de centre O, immobile dans l’espace, sans rotation propre. À la fin de cet énoncé (page 7), sont regroupées des valeurs de grandeurs physiques et un formulaire utilisables dans cette épreuve. I SATELLITES SUR ORBITE CIRCULAIRE 1 – Un satellite de masse MS est en orbite circulaire de centre O, à une altitude de l’ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir la relation entre la période h Physique I 2007 : filière MP. de révolution T et h. Exprimer de même la relation entre la vitesse v G = v et h. 2 – Soient c E et p E l’énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le e du viriel » : 2 0 c p E E champ de gravitation de la Terre ; établir le « théorèm + = . 3 – À chaque position P du satellite correspond un point Q sur la Terre à la verticale de ce point. L’ensemble des points Q définit la trace de la trajectoire. Pour un observateur situé en Q, la durée de visibilité τ d’un satellite est l’intervalle de temps entre son apparition sur l’horizon (point A de la Fig. 1) et sa disparition sous l’horizon (point B). Exprimer τ en fonction de , h , G T M et T R . Calculer τ pour 5 8 10 m. h = × 4 – Calculer T τ . Pour les besoins de téléphonie mobile, on place sur il pour couvrir la surface de la Terre, c’est à dire pte la rotation de la Terre. Calculer la période et ouvement du satellite. La la des orbites polaires (c’est-à-dire contenues dans un plan méridien terrestre) un ensemble de satellites, identiques, appelé « train de satellites ». Ces satellites sont disposés régulièrement sur leur orbite polaire commune, à l’altitude de 800 km. Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former un « train » afin que tous les points au sol, dans le même plan méri- dien que l’orbite, voient au moins un satellite à tout instant. Combien d’orbites polaires de ce type faut- Fig. 1 : Satellite P, point Q et ligne des horizons AB. Le plan orbital représenté est dit polaire (la ligne des pôles est N’SNS’). L’angle est dit ancillaire. P B A Q O O S N N' S' pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout instant ? Com- bien doit-on disposer de satellites en tout ? 5 – Dans cette question, on prend en com l’altitude d’un satellite placé sur orbite géostationnaire. La notion de durée de visibilité garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sont les avantages et les inconvénients d'un satellite géostationnaire comparé au train de la question 4 ? 6 – La Terre est entourée d’une atmosphère qui s’oppose au m force de frottement fa G créée par l’atmosphère est proportionnelle au carré de la vitesse v du satellite et elle s’exprime par v f G G v M α − = , où α a une valeur positive, constante dans cette question. Déterminer la Écrire le théorème de l’énergie cinétique en supposant que le théorème du viriel établi à la question 2 reste applicable en présence de f G . Établir l’équation différentielle vérifiée par h. 7 – Un satellite placé sur une orbite d’altit S a dimension de α. ude 800 km subit une diminution d’altitude a d’environ 1 m par révolution ; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au bout d’une révolution. En déduire une estimation au premier ordre de α (ne pas s’étonner de la petitesse Physique I 2007 : filière MP. ents dépendent de la densité de l’atmosphère et donc de l’altitude. Dans un certain domaine d’altitudes, α varie selon la loi extrême du résultat !). Calculer, avec la même approximation, ce qu’il advient de l’altitude au bout de 10 ans de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution exacte. Le fait d’avoir une augmentation de la vitesse en présence d’une force opposée au mouvement est-il paradoxal ? 8 – En réalité, les frottem β h h γ α = ) ( , où γ et β sont positifs. Le même satellite que celui de la question 7 (perdant 1 m pour 800 km h ≈ ) perd, à l’altitude de 400 km, 2 mètres par révolution. Calculer γ et β. ètre par révolution II STABILISATION DE L’ATTITUDE D'UN SATELLITE SUR La méthode de stabilisation d’attitude par gradient de gravité a été mise en œuvre pour les SON ORBITE PAR GRADIENT DE GRAVITÉ satellites artificiels afin qu’ils présentent vers la Terre toujours le même côté. Elle ne requiert aucune ressource d’énergie embarquée. Le principe de cette méthode a été établi par Lagrange, au XVIIème, afin d’expliquer pourquoi la Lune présente toujours la même face vers la Terre. Modèle : le satellite est constitué de deux points matériels M1 et M2 de masses identiques 1 2 S m M = reliés par une tige rigide de masse nulle et de longueur 2l. Le barycentre S du satellite décrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayon r0 = RT + h (l << r0). Le référentiel géo- centrique (R) lié au repère (Oxyz) est supposé galiléen. Le plan orbital est Oxy. Le référentiel (R') défini par le repère (Ox’y’z) lié au satellite tourne autour de la Terre avec une vitesse angulaire Ω (Fig. 2). Les points M1 et M2 sont dans le plan orbital : u OS ˆ 0 r = , 1 u OM ˆ 1 1 r = et 2 u OM ˆ 2 r = , où û, û et û sont unit res. On appelle θ l’angle de M1M2 avec l’axe Ox’ de (R’). On à ositions d’équilibre du satellite dans le référentiel (R’) et leur stabilité. On suppose qu’il n’y a pas de frottements. Étude dynam Fig. 2 : Le satellite, son référentiel R’ (Ox’y’) et le référentiel R lié à la Terre (Oxy). 2 1 2 ai cherche déterminer les éventuelles p ique, dans le référentiel mobile 9 – Exprimer les forces gravitationnelles 1 F G et 2 F G qui agissent sur M1 et M2. tie nt 1 et M2, en fonction de m, Ω, 10 – Exprimer dans (R’) les forces d'iner d'e raînement qui agissent sur M 1 r G et . Exprimer dans (R’) les forces d'inertie de Coriolis qui agissent 2 r G Physique I 2007 : filière MP. sur M1 et M2, en fonction de m, Ω, 1 SM , 2 SM et dt dθ = • θ . 11 – Montrer que dans (R’) le m nt ome des forces d’inertie de Coriolis en S est nul. Éta- blir que dans (R’) le moment résultant calculé en S des actions extérieures a pour amplitude, pour 0 l r << , ( ) ( ) 2 3 0 6 sin cos S T l GmM r Γ θ θ = . Préciser la direction et le sens de ce mome tielle du mouvemen nt cinétique. 12 – Appliquer le théorème du moment cinétique dans (R'). Établir l'équation différen- t. Déterminer les valeurs de θ qui correspondent à une position d'équili- able uploads/Geographie/ sec-minesponts-2007-phy1-mp.pdf