Exercices sur les probabilités page 1 G. COSTANTINI EXERCICES SUR LES PROBABILI
Exercices sur les probabilités page 1 G. COSTANTINI EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS Exercice 1 On lance un dé parfait et on considère les événements suivants : A = "le nombre obtenu est divisible par 2" B = "le nombre obtenu est divisible par 3" Les événements A et B sont-ils indépendants ? Exercice 2 Soient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On en choisit 3 au hasard. Quelle est la probabilité que la somme des numéros des trois jetons choisis dépasse (strictement) celle des jetons restants ? Exercice 3 On lance un dé (bien équilibré) six fois de suite. On note S l'événement "obtenir au moins un 6 lors des six lancers". 1. Décrire S . 2. Calculer p(S). Exercice 4 Une urne U1 contient deux boules noires et une boule blanche. Une urne U2 contient deux boules blanches et une boule noire. On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire une boule dans cette urne. 1. Faire un arbre. 2. Calculer la probabilité de choisir l'urne U1 et de tirer une boule blanche. 3. Calculer la probabilité de tirer une boule blanche. 4. On a tiré une boule blanche. Quelle est la probabilité que cette boule provienne de l'urne U1 ? Exercice 5 Une urne U1 contient trois boules noires et sept boules blanches. Une urne U2 contient cinq boules noires et cinq boules blanches. On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire successivement deux boules, avec remise, dans l'urne choisie. On note B1 l'événement "obtenir une boule blanche au premier tirage" et B2 l'événement "obtenir une boule blanche au second tirage" Les événements B1 et B2 sont-ils indépendants ? Exercices sur les probabilités page 2 G. COSTANTINI Exercice 6 Un automobiliste effectue un parcours sur lequel se trouvent dix feux tricolores. Ces feux fonctionnent de manière autonome et indépendante et possèdent chacun le même cycle : vert 25 secondes, orange 5 secondes, rouge 30 secondes. 1. Étant donné un feu tricolore, on note S l'événement "l'automobiliste passe au feu vert". Calculer P(S). 2. Quelle est la probabilité que sur son parcours (comportant dix feux tricolores) l'automobiliste rencontre exactement six feux verts ? 3. Quelle est la probabilité que sur son parcours l'automobiliste ne rencontre que des feux verts ? 4. Calculer le nombre moyen de feux verts que l'automobiliste rencontre sur son parcours. Exercice 7 Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A, B, AB et O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d'un individu possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif (noté Rh+) ; s'il ne possède pas ce facteur, il est dit de Rhésus négatif (noté Rh−). Sur une population ℘ les groupes sanguins se répartissent de la manière suivante : A B AB O 40% 10% 5% 45% Pour chaque groupe, la proportion d'individus possédant ou non le facteur Rhésus se répartit ainsi : Groupe A B AB O Rh+ 82% 81% 83% 80% Rh− 18% 19% 17% 20% Un individu ayant un sang du groupe O et de Rhésus négatif est appelé donneur universel. On choisit un individu au hasard dans la population ℘. Calculer la probabilité des événements suivants : 1. O = "l'individu a un sang du groupe O" 2. DU = "l'individu est un donneur universel" 3. Rh− = "l'individu a un sang de Rhésus négatif" 4. On suppose dans cette question que l'individu a du sang de Rhésus négatif. Quelle est la probabilité que cet individu soit du groupe O ? Exercice 8 On considère le jeu suivant : une urne contient six boules blanches et une boule rouge. Le joueur tire successivement et sans remise une boule jusqu'à tirer la boule rouge. On note k le rang du tirage de la boule rouge. On suppose que, à chaque tirage, chaque boule a autant de chance d'être tirée. Le joueur gagne k k est pair et perd k k est impair. Soit X "! "# $ &%' ( 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Calculer son espérance mathématique. 3. Ce jeu est-il intéressant pour le joueur ? 4. Sachant que la première boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que le joueur gagne de l'argent ? Exercices sur les probabilités page 3 G. COSTANTINI Exercice 9 On place dans une urne six boules numérotées de 0 à 5, indiscernables au toucher. L'expérience consiste à tirer simultanément trois boules. 1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque expérience, prend comme valeur le plus grand des numéros portés sur les trois boules tirées. a) Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique ainsi que son écart-type. b) Calculer la probabilité que X prenne une valeur strictement supérieure à 3. Exercice 10 Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement M1, M2 et M3. La moitié des appareils de son stock provient de M1, un huitième de M2, et trois huitièmes de M3. Ce grossiste sait que dans son stock, 13% des appareils de la marque M1 sont rouge, que 5% des appareils de la marque M2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M3 le sont aussi. On donnera les résultats sous forme de fractions. On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste : 1. Quelle est la probabilité qu'il vienne de M3 ? 2. Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vienne de M2 ? 3. Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ? 4. Après examen, on s'aperçoit que l'appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu'il soit de la marque M1 ? Exercice 11 Une urne contient 1 jeton numéroté , 2 jetons numérotés et 3 jetons numérotés . On tire, au hasard, successivement deux jetons sans remise. 1. Faire un arbre (avec probabilités). 2. Quelle est la probabilité d'obtenir deux jetons identiques ? 3. On note X la somme des chiffres des deux jetons tirés. a) Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X ? b) Donner la loi de probabilité de X. c) Calculer l'espérance E(X) et l'écart type σ(X). Exercice 12 ! ( & ! ! # ! $ ( Le but de cet exercice est de comparer les deux stratégies suivantes : 1. ! #"$% & & X le gain. (X = +10 ou X = −10) a) Donner la loi de probabilité de X. b) Calculer et interpréter l'espérance E(X). 2. '( ! #"$)% & * * ! (+ & Y le gain. Exercices sur les probabilités page 4 G. COSTANTINI a) Quelles sont les différentes valeurs possibles de Y ? Donner la loi de probabilité de Y. b) Calculer et interpréter E(Y). 3. Quelle stratégie adopterez-vous ? Exercice 13 A, B et C sont trois événements. On sait que : p(A) = 0,5 p(B) = 0,1 p(C) = 0,7 p(B ∪ C) = 0,8 p(A ∩ B) = 0,3 1. Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Sont-ils indépendants ? 2. Les événements B et C sont-ils incompatibles ? Sont-ils indépendants ? 3. Les événements A et C sont-ils incompatibles ? Exercice 14 Un dé est truqué de telle sorte que la probabilité d'obtenir chaque numéro de 1 à 6 soit proportionnelle à ce numéro. Calculer la probabilité de sortie de chaque numéro. Exercice 15 On considère un dé, non truqué, à six faces non numérotées mais coloriées : Il y a deux faces rouges, deux faces vertes et deux faces oranges. On lance le dé une fois. On gagne à tous les coups, sauf si la face obtenue est rouge. 1. Expliquer brièvement pourquoi on a 1 chance sur 3 de perdre. 2. + & * "! ! " 2 fois plus uploads/Histoire/ exoprob.pdf
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- Publié le Dec 20, 2022
- Catégorie History / Histoire
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