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Terminale S 1 F. Laroche Probabilités exercices corrigés Terminale S Probabilit

Terminale S 1 F. Laroche Probabilités exercices corrigés Terminale S Probabilités Exercices corrigés 1. Combinatoire avec démonstration 2. Rangements 3. Calcul d’événements 1 4. Calcul d’événements 2 5. Calcul d’événements 3 6. Dés pipés 7. Pièces d’or 8. Fesic 2001 : Exercice 17 9. Fesic 2001 : Exercice 18 10. Fesic 2002 : Exercice 15 11. Fesic 2002 : Exercice 16 12. Fesic 2004 : Exercice 13 13. Fesic 2004 : Exercice 14 14. Urnes et dés, Pondichery 2004 15. Entropie, France, sept 2004 16. Loi exponentielle, France, juin 2004 17. Boules, Am. du sud, nov 2004 18. Club photo 19. Cartes 20. Boules et urnes 21. Boules, Antilles Guyane, sept 1999 22. Urnes 23. Boules et suite 24. Exercice de base : Efficacité d’un test 25. Exercice de base 1 : temps d’attente 26. Exercice de base 2 : attente 27. Exercice de base 3 : ABS 28. Cubes pour enfants 29. Urne 30. Tulipes 31. Jetons 32. Vie et mort de bactéries, concours Geipi, juin 2001 33. Erreurs d’impression, Am. du Sud, sept 1999 34. Contrôle de chaudières, Antilles juin 02 35. Clefs et portes, Pondichéry, juin 2000 36. Boules, Centres étrangers, juin 2000 37. Cinéma, Antilles, juin 2000 38. Boules et fonction, Liban, juin 2000 39. Jetons+VA, Polynésie, juin 2000 40. Promenades familliales, Liban juin 2001 41. Fourmis markoviennes, Antilles, sept 2000 42. Adéquation à une loi équirépartie 1. Combinatoire avec démonstration 1. Démonstration de cours. Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1 k n ≤ < , on a : 1 1 1 n n n k k k − −       + =       −       . 2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que 2 1 k n ≤ < −, on a : 2 2 2 2 2 1 n n n n k k k k − − −         + + =         − −         . 3. On considère deux entiers naturels n et k tels que 2 1 k n ≤ < −. On dispose d’une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. On tire au hasard et simultanément k boules de l’urne. On appelle A l’évènement « au moins une boule rouge a été tirée ». a. Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l’évènement A , contraire de A. En déduire la probabilité de A. b. Exprimer d’une autre manière la probabilité de l’évènement A et montrer, à l’aide de la formule obtenue à la question 2, que l’on retrouve le même résultat. Correction 1. Démonstration : il est plus simple d’utiliser ( 1)...( 1) ( 1)...2.1 n n n n k k k k   − − + =   −   que ! !( )! n n k k n k  =   −   , la mise au même dénominateur étant plus visible. 1 1 ( 1)...( 1 1 1) ( 1)...( 1 1) ...( 1) 1 ( 1)...2.1 ( 1)...2.1 ( 1)...2.1 n n n n n k n n k n n k k k k k k k k k − −       − −− + + − −− + − + + = ⇔ + =       − − − −       ; le dénominateur commun apparaît alors : k! Terminale S 2 F. Laroche Probabilités exercices corrigés Il suffit donc de multiplier la première fraction par k en haut et en bas, ce qui donne ( 1)...( 1) ( 1)...( ) ...( 1) ! ! k n n k n n k n n k k k − − + + − − − + = . On peut mettre ( 1)...( 1) n n k − − + en facteur du numérateur de la fraction de gauche : ( 1)...( 1) ( 1)...( 1) ! ! n n k k n k n n n k k k   − − + + − − − +  = et c’est fini. 2. Réécrivons 1 1 1 n n n k k k − −       + =       −       un rang plus bas pour n et pour k : 2 2 1 2 1 1 n n n k k k − − −       + =       − − −       ; réécrivons 1 1 1 n n n k k k − −       + =       −       un rang plus bas pour n mais pas pour k : 2 2 1 1 n n n k k k − − −       + =       −       ; ajoutons les deux lignes : 2 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n n n k k k k k k − − − − −             + + = + =             − − −             . 3. Dans l’urne on a 2 boules rouges et n − 2 boules blanches ; il y a n k       tirages simultanés possibles de k boules de l’urne. a. A = « au moins une boule rouge a été tirée » ; A = « aucune boule rouge n’a été tirée » = « les k boules tirées sont blanches » : il y a 2 n k −       manières de faire et 2 (A) n k P n k −       =       . On a donc 2 2 (A) 1 n n n k k k P n n k k − −       −             = − =             . b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k − 1 blanches, nombre de manières : 2 2 2 2 1 1 1 n n k k − −      =      − −      , ou 2 rouges et k − 2 blanches : nombre de manières : 2 2 2 2 2 2 n n k k − −      =      − −      . On a alors 2 2 2 1 2 (A) n n k k P n k − −     +     − −     =       . L’égalité entre les deux est alors l’égalité des numérateurs : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n n k k k k k k k k − − − − − −                 − = + ⇔ = + +                 − − − −                 , soit l’égalité du 2. 2. Rangements On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes (n ≥ 2). Deux amis A et B se trouvent dans cette file d’attente. 1. Quelle est la probabilité que les deux amis soient situés l’un derrière l’autre ? 2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r − 1 personnes) ? Terminale S 3 F. Laroche Probabilités exercices corrigés Correction Le nombre total de possibilités de rangement est n! 1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste ( ) 2 ! n − répartitions possibles. Comme A peut être placé n’importe où dans la file avec B derrière lui, il uploads/Histoire/ exercices-probas-corriges 1 .pdf