Application de la commande robuste s´ equenc´ ee au contrˆ ole de la transition

Application de la commande robuste s´ equenc´ ee au contrˆ ole de la transition op´ erationnelle d’un syst` eme non lin´ eaire Yann LABIT1, Pedro TEPPA1 ;2, Jacques BERNUSSOU1, Germain GARCIA1 1 Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Syst` emes du CNRS 7 Avenue du Colonel Roche, 31077 Toulouse, France 2 Universit´ e Sim´ on Bol´ ivar, Valle de Sartenejas, Baruta, Caracas-Venezuela fylabit, pteppa, bernusoug@laas.fr R´ esum´ e— Nous proposons, dans cet article, une approche syst´ ematique pour assurer la transition en stabilit´ e d’un syst` eme dynamique non lin´ eaire entre deux points op´ erationnels. Ceci est r´ ealis´ e dans un cadre d’un s´ equen- cement de lois de commande robuste issues de la satisfaction de contraintes en stabilit´ e et en prenant compte de certaines sp´ ecifications de perfor- mances locales qui restent valables dans un voisinage d’attraction d’un en- semble de points d’´ equilibre. L’approche propos´ ee est implant´ ee par l’in- term´ ediaire de deux techniques : la premi` ere repose sur les fonctions cano- niques lin´ eaires par morceaux tandis que la deuxi` eme se centralise sur des outils g´ eom´ etriques tels que les ellipso¨ ıdes. Pour ces deux approches, nous obtenons une famille de mod` eles lin´ eaires incertains pour lesquels nous re- cherchons s’ils sont quadratiquement stabilisables. Un exemple de pendule invers´ e permet de valider les deux techniques. Mots-cl´ es—Transition, s´ equencement de gains, lois de commande robustes, mod` eles incertains, stabilisabilit´ e quadratique, ellipso¨ ıde, fonctions cano- niques lin´ eaires par morceaux. I. INTRODUCTION Assurer la transition entre deux points d’op´ eration d’un sys- t` eme dynamique non lin´ eaire repr´ esente une partie fondamen- tale de la commande de syst` emes non lin´ eaires sur une large plage de conditions op´ erationnelles. Cette probl´ ematique a ´ et´ e abord´ e par plusieurs techniques dont on peut d´ enombrer : la commande adaptative ` a plusieurs mod` eles [14], la commande par supervision [9] et le s´ equencement de gains ([15] [17] [13]). Le s´ equencement de gains est une approche classique de r´ esolu- tion, fr´ equemment adopt´ ee dans l’industrie, elle est plus connue sous sa d´ enomination anglo-saxonne gain-scheduling, celle-ci envisage la commande d’un syst` eme non lin´ eaire par plusieurs tˆ aches lin´ eaires. La proc´ edure g´ en´ erale d’une telle m´ ethode ´ evo- lue de la mani` ere suivante : – (i) lin´ eariser le syst` eme non lin´ eaire autour d’un ensemble repr´ esentatif de points d’´ equilibre, – (ii) d´ eterminer un correcteur pour chaque mod` ele lin´ eaire ob- tenu ` a l’aide d’une m´ ethode de synth` ese classique de syst` emes lin´ eaires invariants dans le temps (LTI), – (iii) construire la loi de commande globale, par interpolation des param` etres des correcteurs locaux, – (iv) assurer la stabilit´ e et la performance du syst` eme non li- n´ eaire parmi les points interm´ ediaires ` a travers de simulations intensives. Il y a plusieurs difficult´ es associ´ ees ` a une telle strat´ egie [16], en particulier, elle ne garantit pas la stabilit´ e de la boucle ferm´ ee. Comme cons´ equence, on trouve dans la litt´ erature, plusieurs ap- proches qui consid` erent d’´ etendre la r´ egion de stabilit´ e ([11] [19] [12]). Nous proposons dans cette article deux techniques qui visent ` a ´ etendre la r´ egion de stabilit´ e par l’usage des outils de la commande robuste et de la programmation convexe[1]. Il est possible de retracer les origines de telles techniques ` a partir de l’algorithme g´ en´ eral suivant – (i) repr´ esenter le syst` eme non lin´ eaire autour d’un ensemble repr´ esentatif de points d’´ equilibre par des syst` emes lin´ eaires in- certains de type polytopiques, – (ii) d´ eterminer un correcteur robuste pour chaque mod` ele li- n´ eaire incertain obtenu ` a l’aide d’une technique de synth` ese ro- buste, – (iii) construire la loi de commande globale en assurant un cer- tain niveau d’intersection parmi les r´ egions de stabilit´ e de sys- t` emes lin´ eaires incertains successifs. L’algorithme propos´ e conduit ` a des techniques relativement simples et syst´ ematiques qui n’exigent aucune simulation ex- haustive par la suite pour tester la stabilit´ e en boucle ferm´ ee du syst` eme non lin´ eaire. En particulier, nous proposons deux tech- niques : la premi` ere repose sur les fonctionscanoniques lin´ eaires par morceaux ([2], [3] [4]), tandis que la deuxi` eme technique s’av` ere plutˆ ot g´ eom´ etrique li´ ee ` a des outils tels que les poly- ` edres et les ellipso¨ ıdes ([7], [18]). Cet article est organis´ e de la mani` ere suivante : la section II d´ ecrit les notions de base de la technique de s´ equencement de gains, la section III consid` ere l’algorithme g´ en´ eral et les deux technique d´ evelopp´ ees. Enfin dans la section IV, un exemple num´ erique de commande d’un pendule invers´ e est d´ evelopp´ e afin de valider les techniques sur la transition d’un point d’´ equilibre vers un autre. II. S´ EQUENCEMENT DE GAINS Soit le syst` eme non lin´ eaire Σ d´ ecrit, t  0 par les ´ equations Σ : ( d dt x(t ) = f (x(t );u(t )) y(t ) = g(x(t )) (1) o` u x(t )  R n, u(t )  R m et y(t )  R q sont respectivement : les vecteurs d’´ etat, de commande et la sortie mesur´ ee. On sup- pose qu’il y a un ensemble d’´ equilibre param´ etr´ e par une va- riable de s´ equencement ρ  Γ  R s, Γ ´ etant compact. Ceci si- gnifie qu’il existe des fonctions continues x0 : R s ! R n, u0 : R s ! R m telles que f (x0 (ρ);u0 (ρ)) = 0 ρ  Γ. La variable de 510 Conf´ erence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 s´ equencement est une fonction du temps, ne d´ ependant que des variables mesur´ ees, n´ eanmoins au moment de mettre en place un correcteur pour le syst` eme Σ , elle devient un param` etre de synth` ese. Pour tout ρ  Γ, le syst` eme lin´ eaire Σl qui repr´ esente ` a Σ tout au long du lieu (x0 (ρ);u0 (ρ)) est Σl : ( d dt x(t ) = A(x(t )) x0 (ρ)) +B(u(t )) u0 (ρ)) y(t ) = C (x(t )) x0 (ρ)) (2) o` u A;B;C sont des matrices Jacobiennes continues de dimension appropri´ ee, ainsi par exemple, A = ∂f ∂x (xeq ; ueq ) = 0 B B B B @ ∂f1 ∂x1 : : : ∂f1 ∂xn . . . ... . . . ∂fn ∂x1 : : : ∂fn ∂xn  C C C C A (3) En s’appuyant sur les notions de vari´ et´ e de points d’´ equilibre et lin´ earisation, un correcteur lin´ eaire Cl est mis en oeuvre pour des valeurs choisies de ρ. Finalement, on implante un compen- sateur global C par le s´ equencement des correcteurs lin´ eaires Cl en faisant usage des mesures en ligne de la variable ρ. Il est clair que l’on n’a pas de moyen de contrˆ oler un minimum la transi- tion entre deux pointsd’´ equilibre interm´ ediaires pour le syst` eme non lin´ eaire en boucle ferm´ ee. C’est pour cette raison que nous allons d´ etailler deux m´ ethodes partant du mˆ eme mod` ele non li- n´ eaire et des mˆ emes sp´ ecifications, et ayant les mˆ emes objectifs, c’est-` a-dire la stabilisabilit´ e du syst` eme non lin´ eaire en boucle ferm´ ee avec des transitions acceptables et les sp´ ecifications res- pect´ ees. III. ALGORITHME ET APPROCHES Par la suite, on va proposer un algorithme dans le cadre d’un s´ equencement discret avec la satisfaction des contraintes en sta- bilit´ e, les performances ( dynamique, H2, H∞,...) pouvant ˆ etre prises en compte localement et valables dans un voisinage ( non infinit´ esimal) d’attraction des points d’´ equilibre d´ efinis par la technique de s´ equencement. A. Algorithme g´ en´ eral Probl` eme 1 Trouver une loi de commande globale qui garantisse la transi- tion du syst` eme non lin´ eaire depuis un point de fonctionnement de d´ epart (xi ;ui )  R n+m vers un point de fonctionnement d’ar- riv´ ee (xf ;u f )  R n+m en assurant la stabilit´ e en boucle ferm´ ee de Σ et en prenant en compte de certaines sp´ ecifications locales de performance (placement de pˆ oles, minimisation d’une norme du type H2 ou H∞,etc...). Algorithme 1 1. D´ eterminer l’ensemble d’´ equilibre du syst` eme non lin´ eaire. 2. Prendre comme point d’´ equilibre initial, le point d’arriv´ ee (la loi de commande sera bˆ atie hors de ligne) 3. Pour tout point d’´ equilibre, d´ eterminer une r´ uploads/Industriel/ application-de-la-commande-robuste-sequencee-au-controle-de-la-transition-operationnelle-dun-systeme-non-lineaire.pdf

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