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BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2018 MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spéci

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2018 MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL Durée de l’épreuve : 4 heures Coefﬁcient : 4 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 / 7 à 7 / 7 L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire ﬁgurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies. 18MA2DSPMLR1 Page 1 / 7 ÉPREUVE DU MARDI 19 JUIN 2018 EXERCICE no 1 (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justiﬁcation n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’ab- sence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie. 1. Le plan complexe est muni d’un repère (O ; ⃗ u, ⃗ v). On considère le point A de coordon- nées (−4 p 2 ; 4 p 2). Une écriture exponentielle de l’afﬁxe du point A est : a. 8e−i 3π 4 b. 8ei 3π 4 c. 4 p 2e−i 3π 4 d. 4 p 2ei 3π 4 2. Sur le graphique ci-dessous, l’aire grisée est délimitée par la courbe d’équation y = 2e−x, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = 2, où a est un nombre réel stric- tement inférieur à 2. 0 1 2 3 1 2 3 4 x y a y = 2e−x L’aire grisée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d’aire lorsque a est égal à : a. −0,5 b. 0 c. 0,5 d. 1,5 18MA2DSPMLR1 Page 2 / 7 3. On considère l’équation différentielle y′ +2y = 6 où y désigne une fonction dérivable sur R. On note f l’unique solution de cette équation différentielle vériﬁant f (0) = 5. La valeur de f (2) est : a. 2e−4 +3 b. 2e4 +3 c. 5e−4 +3 d. 5e4 +3 4. On considère la fonction f déﬁnie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ln(x). La primitive F de f sur ]0 ; +∞[ telle que F(1) = 3 est donnée par : a. F(x) = x ln(x)−2x +5 b. F(x) = 3 x c. F(x) = x ln(x)+3 d. F(x) = x ln(x)−x +4 18MA2DSPMLR1 Page 3 / 7 EXERCICE no 2 (6 points) Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau. Partie A 1. Quel volume d’eau restera-t-il dans l’aquarium au bout d’une semaine? 2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés? Justiﬁer. 3. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d’eau dans l’aquarium devien- dra insufﬁsant. Partie B On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%. On note u0 le volume initial d’eau en litres dans l’aquarium. Ainsi u0 = 280. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note un le volume d’eau dans l’aquarium, en litres, n semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau. 1. Vériﬁer que u2 = 278,812. 2. Justiﬁer que pour tout entier naturel n, un+1 = 0,98un +5. 3. Montrer que la suite (un) n’est pas géométrique. 4. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel k désigne un nombre entier naturel et U un nombre réel. U ←280 Pour k allant de 1 à ... U ←... Fin Pour a. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la ﬁn de son exécution, la variable U contienne u6. b. Quel est le volume d’eau dans l’aquarium, en litres à 10−2 près, 6 semaines après son installation immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau. 5. On considère la suite (vn) déﬁnie pour tout entier naturel n par vn = un −250. On admet que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,98. a. Calculer v0. b. Exprimer vn en fonction de n. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 30×0,98n +250. d. Justiﬁer que la préconisation concernant le volume d’eau dans l’aquarium est respectée. 18MA2DSPMLR1 Page 4 / 7 EXERCICE no 3 (6 points) Le niveau sonore N d’un bruit, à une distance D de sa source, dépend de la puissance sonore P de la source. Il est donné par la relation N = 120+4ln µ P 13×D2 ¶ où N est exprimé en décibels (dB), P en Watts (W) et D en mètres (m). Partie A Les questions 1. et 2. sont indépendantes. 1. Calculer le niveau sonore N d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance P est égale à 2,6 Watts. On arrondira le résultat à l’unité. 2. On donne N = 84 dB et D = 10 m. Déterminer P. On arrondira le résultat à 10−2 près. Partie B Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d’aménage- ment de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore P égale à 0,026 Watts. 1. a. Montrer qu’à une distance D de la machine, le niveau sonore N dû à celle-ci vé- riﬁe la relation : N = 120+4ln(0,002)−4ln ¡ D2¢ b. Montrer qu’une approximation de N peut être 95,14−8ln(D). Dans la suite de l’exercice, à une distance de x mètres de la machine, le niveau sonore N émis par la machine est modélisé par la fonction f déﬁnie sur l’intervalle [0,1; 20] par : f (x) = 95,14−8ln(x) 2. a. Déterminer une expression de f ′(x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f . b. Donner le signe de f ′(x) pour tout x de l’intervalle [0,1; 20]. c. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,1; 20]. 3. On suppose qu’un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l’oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu’un risque apparaît. Justiﬁer, à l’aide du tableau ci-dessous, que l’ouvrier doit porter des protections indi- viduelles contre le bruit. Impacts sur l’audition Niveaux sonores en décibels Aucun [0;85[ Risque faible [85;90[ Risque élevé [90;120[ 4. Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l’entreprise sort de la zone de risque élevé (c’est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à 90 dB). 18MA2DSPMLR1 Page 5 / 7 Partie C On s’intéresse au lien entre la puissance P d’un bruit et la distance D de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore N. 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 2 4 6 8 10 12 14 16 P D 0 CN=74,9 CN=79,8 CN=85 CN=90 CN=94,1 A On admet que pour une puissance de 0,02 Watt, le niveau sonore du bruit est de 74,9 décibels à une distance de 11 mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées (0,02; 11) appartient à la courbe CN=74,9. 1. Pour un bruit de puissance P égale à 0,06 W, déterminer graphiquement à quelles dis- tances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore N soit compris entre 85 et 90 dB. 2. Pour une source sonore située à une distance D de 8 m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB. 18MA2DSPMLR1 Page 6 / 7 EXERCICE no 4 (4 points) Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes « SECUR ». Équipées d’un digicode et d’une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. Les résultats seront arrondis à 10−4 près. Partie A Avant de débuter son projet, l’industriel s’intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d’une porte blindée classique est une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ = 3000 et d’écart type σ = 750. 1. Déterminer la probabilité P(1500 É X É 4500). 2. Déterminer la probabilité qu’une porte blindée classique coûte plus de 2500 euros. 3. a. Recopier et compléter le tableau suivant où a désigne un nombre entier naturel. a P(X É a) uploads/Industriel/ bac-sti2d-stl-spcl-maths-sujet.pdf