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Professeur M.El Haim - ENSAH Cinématique des Milieux Continus Chapitre II Profe

Professeur M.El Haim - ENSAH Cinématique des Milieux Continus Chapitre II Professeur M.El Haim - ENSAH 1 Ch.II – Cinématique des milieux continus 1– Définitions a/ Cinématique: Description mathématique du mouvement: Géométrie + Temps = CINEMATIQUE On va donc s’intéresser à un milieu soumis à un mouvement au cours du temps. b/ Système matériel: Ensemble de particules matérielles qui constitue l’objet de l’étude. c/ Notion de particule matérielle: Une particule matérielle est une petite région de l’espace composé de matière. Il ne faut pas la confondre avec la particule élémentaire, que l’on rencontre en physique fondamentale. Une particule matérielle est représentée mathématiquement par un point. Pourtant, elle n’a ni un volume nul, ni une masse nulle. La particule matérielle (ou point matériel) est donc le volume infinitésimal de matière située autour d’un point donné. Professeur M.El Haim - ENSAH 2 d/ Domaine matériel: Un domaine matériel est une partie d’un système matériel qui peut se déplacer, mais qui contient toujours exactement les mêmes particules matérielles. A travers la frontière d’un domaine matériel, aucune matière ne rentre et aucune matière ne sort au cours du mouvement. Par conséquent, un domaine matériel est défini par une frontière fermée qui « suit » les particules lors de leur déplacement à tout instant. e/ Domaine fixe: Un domaine fixe est le contraire d’un domaine matériel: il ne suit pas les particules dans leur mouvement, et reste toujours immobile. A travers la frontière d’un domaine fixe, il est tout à fait possible que de la matière rentre ou sorte au cours de son mouvement. Ch.II – Cinématique des milieux continus 1– Définitions Professeur M.El Haim - ENSAH 3 Domaine matériel: Ch.II – Cinématique des milieux continus 1– Définitions Domaine fixe: Professeur M.El Haim - ENSAH 4 Ch.II – Cinématique des milieux continus 1– Définitions f/ Notion de référentiel: Un référentiel est un observateur du mouvement. La plupart du temps on se placera dans un référentiel galiléen, défini comme celui dans lequel le principe fondamental de la dynamique est vérifié. Le référentiel terrestre sera supposé galiléen, même si, en réalité, il ne l’est pas complètement. Tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel terrestre sera donc également considéré galiléen. Tout mouvement est défini par rapport à un référentiel. Un changement de référentiel modifie de manière drastique la description d’un mouvement. Professeur M.El Haim - ENSAH 5 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-1/ Point de vue de Lagrange: Deux descriptions différentes d’un mouvement coexistent, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. On appelle ces points de vue les descriptions Lagrangienne et Eulérienne du mouvement.  La première est plus adaptée à la mécanique du solide et la deuxième est plus adaptée à la mécanique des fluides, mais ce n’est pas figé.  On va s’intéresser au mouvement d’un point M, qui se déplace au cours du temps dans un repère de l’espace noté: Professeur M.El Haim - ENSAH 6 2-1/ Point de vue de Lagrange: La description de Lagrange consiste à suivre une particule matérielle (identifiée par un point M) au cours de son mouvement, à partir de sa position d’origine. Cette description suppose donc qu’il y a un état du système que l’on suppose parfaitement connu, et que l’on nommera état initial ou état de référence. On suppose que cet état correspond au temps t=0. La position du point d’origine du point M est défini par son vecteur position (en majuscule). La position du point M (et la particule associée) à un instant t > 0 est défini par son vecteur position (en minuscule).  La position d’origine joue le rôle « d’étiquette » pour la particule associée au point M. Il permet de l’identifier sans équivoque. La position de M à un instant t > 0 quelconque peut donc s’écrire: Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement Professeur M.El Haim - ENSAH 7 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-1/ Point de vue de Lagrange: La description de Lagrange travaille donc sur la notion de trajectoire: La trajectoire de M est la ligne qui contient l’ensemble des positions du point matériel M au cours du temps. Très souvent, on oublie même de mentionner le temps t, et on cherche simplement à comparer un état initial et un état final. Dans notre exemple, on a: Etat initial: t = 0 Etat final: t = t2 Dns ce cas, le point de vue de Lagrange cherche à comparer et . Professeur M.El Haim - ENSAH 8 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-1/ Point de vue de Lagrange: La description de Lagrange travaille donc sur la notion de trajectoire: La trajectoire de M est la ligne qui contient l’ensemble des positions du point matériel M au cours du temps. Très souvent, on oublie même de mentionner le temps t, et on cherche simplement à comparer un état initial et un état final. Dans notre exemple, on a: Etat initial: t = 0 Etat final: t = t2 Dns ce cas, le point de vue de Lagrange cherche à comparer et . Professeur M.El Haim - ENSAH 9 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-1/ Point de vue de Lagrange: La description de Lagrange travaille donc sur la notion de trajectoire: La trajectoire de M est la ligne qui contient l’ensemble des positions du point matériel M au cours du temps. Très souvent, on oublie même de mentionner le temps t, et on cherche simplement à comparer un état initial et un état final. Dans notre exemple, on a: Etat initial: t = 0 Etat final: t = t2 Dans ce cas, le point de vue de Lagrange cherche à comparer et . Professeur M.El Haim - ENSAH 10 2-1/ Point de vue de Lagrange: La description de Lagrange permet de définir de manière rigoureuse les notions de vitesse et d’accélération d’une particule:  La vitesse: C’est la dérivation temporelle du vecteur position d’une particule identifiée par sa position initiale :  L’accélération : C’est la dérivation temporelle du vecteur vitesse d’une particule identifiée par sa position initiale : Le symbole représente la dérivation par rapport au temps pour fixé. Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement Professeur M.El Haim - ENSAH 11 2-2/ Point de vue Euler :  La description d’Euler est radicalement différente de celle de Lagrange. On ne consiste plus d’instant initial, et on n’essaie même plus de suivre une particule dans son mouvement.  Cette description est bien adaptée à la cinématique d’un fluide, pour lequel il est difficile de définir un instant initial pour lequel les positions de toutes les particules seraient connues. Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement Professeur M.El Haim - ENSAH 12 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-2/ Point de vue Euler : Dans la description d’Euler, on ne s’intéresse plus à un point M représentant une particule au cours de son mouvement, mais on s’intéresse à un point M fixe, dont les coordonnées sont indiquées par le vecteur position . La description du mouvement du milieu s’effectue par l’intermédiaire du vecteur vitesse: Cette vitesse est en fait la vitesse (au sens Lagrangien) de la particule qui occupe la position à l’instant t. Il n’est donc nulle part fait mention d’une des coordonnées initiales . Professeur M.El Haim - ENSAH 13 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-2/ Point de vue Euler : Dans la description d’Euler, on ne s’intéresse plus à un point M représentant une particule au cours de son mouvement, mais on s’intéresse à un point M fixe, dont les coordonnées sont indiquées par le vecteur position . La description du mouvement du milieu s’effectue par l’intermédiaire du vecteur vitesse: Cette vitesse est en fait la vitesse (au sens Lagrangien) de la particule qui occupe la position à l’instant t. Il n’est donc nulle part fait mention d’une des coordonnées initiales . Professeur M.El Haim - ENSAH 14 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-3/ Point de vue Euler : Dans la description d’Euler, on ne s’intéresse plus à un point M représentant une particule au cours de son mouvement, mais on s’intéresse à un point M fixe, dont les coordonnées sont indiquées par le vecteur position . La description du mouvement du milieu s’effectue par l’intermédiaire du vecteur vitesse: Cette vitesse est en fait la vitesse (au sens Lagrangien) de la particule qui occupe la position à l’instant t. Il n’est donc nulle part fait mention d’une des coordonnées initiales . Professeur M.El Haim - ENSAH 15 Ch.II – Cinématique des milieux continus 2–Description du mouvement 2-3/ Relation Lagrange - Euler : On peut récapituler en disant que:  Les variables de Lagrange sont les coordonnées initiales X1 , X2 , et X3 d’une particule et l’instant t.  Les inconnues de Lagrange sont les coordonnées actuelles x1 , x2 , et x3 de cette même particule . On travaille avec une uploads/Industriel/ cinematique-des-milieux-continus-chapitre-ii.pdf