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Sciences Industrielles Chaînes de solides Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot

Sciences Industrielles Chaînes de solides Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot I - CHAINES DE SOLIDES A. Chaînes ouvertes, fermée, complexe; 1. Graphe des liaisons Dans le graphe des liaisons d'un mécanisme, les différents solides du mécanisme sont schématisés par des cercles et les liaisons par des arcs. Exemple simple : (L1) : liaison glissière d'axe ; x r (L2) :Appui plan de normale ; x r (L3) : Liaison Hélicoïdale d'axe (O, x r ); (L4) : Pivot Glissant d'axe (0, y r ); (L5) : Linéaire rectiligne d'axe (I, y r ) de normale ; x r (L6) : Appui plan de normale y r 2. Ouverte On appelle chaîne ouverte une chaîne de n+1 solides assemblés par n liaisons en série. 3. Fermée On appelle chaîne fermée une chaîne ouverte dont les deux solides extrêmes ont une liaison entre eux. Les n+1 solides sont reliés par n+1 liaisons. 4. Complexe Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes fermées imbriquées a) Nombre cyclomatique Soient n le nombre de solides, l le nombre de liaisons de la chaîne complexe. On montre par la théorie des graphes que le nombre de chaînes continues indépendantes est . 1 + − = n l γ γ est appelé nombre cyclomatique de la chaîne complexe. La connaissance du nombre cyclomatique est intéressante car elle permet de définir de nombre minimal de chaîne à étudier pour décrire le mécanisme. Pour un mécanisme ayant le graphe de liaison ci-contre: n= 4 l=5 2 1 4 5 = + − = γ La chaîne comporte deux chaînes indépendantes 28/10/03 Modélisation des mécanismes page 1/5 Sciences Industrielles Chaînes de solides Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot B. Liaisons cinématiquement équivalentes; On appelle liaison cinématiquement équivalente entre deux pièces, la liaison qui se substituerait à l'ensemble des liaisons réalisées entre ces pièces avec ou sans pièce intermédiaire. La liaison équivalente est la liaison qui a le même comportement que cette association de liaison, c'est à dire qui transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement. Soit un mécanisme dont le graphe des liaisons est le suivant. La liaison (L1-2) est la liaison équivalente entre les pièces 1 et 2. 1. Liaisons en parallèle a) définition: n liaisons sont disposées en parallèles entre deux solides si chaque liaison relie directement chaque solide. b) Liaison équivalente Le torseur cinématique de la liaison équivalente doit être compatible avec tous les torseurs cinématiques des liaisons entre les pièces. soient : { } v Torseur cinématique de la liaison é ivalente qu { } vi Torseur cinématique de la liaison Li { } { } v v i i = ∀ c’est à dire { } { } { } { } { } { } v v v v v v n n i = = = = = = = −11 2 1 L L 2. Liaisons en série a) Définition Cf. chaîne ouverte b) Liaison équivalente Le torseur de la liaison équivalente représente le mouvement du solide Sn par rapport au solide S0. La relation entre le torseur cinématique de la liaison équivalente s'obtient en écrivant la relation de composition des torseurs cinématiques entre les différentes pièces en présence. { } { } { } { } { } v v v v v v v S S S S S S S S n i S S n n n ni i i S n S S n S 0 1 1 2 2 1 1 1 ..... 0 0 1 + + + + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − ∑ = C est à dire avec les notations précédentes ’ { } { } { } { } { } {v v v v v v n n i + + + + + + = −11 2 1 L L } 28/10/03 Modélisation des mécanismes page 2/5 Sciences Industrielles Chaînes de solides Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot …… 3. Principales liaisons cinématiquement équivalentes a) Patin à rotule Graphe des liaisons (L1) :Liaison Rotule entre S2 et S1 (L2) :Liaison appui plan entre S1 et S0 On se propose de déterminer la liaison équivalente aux deux liaisons en série entre S2 et S0 et le schéma cinématique équivalent. Pour cela déterminons le torseur cinématique équivalent à cette liaison. Schéma cinématique Détermination du torseur cinématique équivalent. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ v v v S S S S S S 0 1 1 2 0 2 Torseur cinématique de la liaison rotule O v S S ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 0 0 0 1 2 2 2 2 γ β α Torseur cinématique de la liaison Appui Plan O v u S S v ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 0 0 0 0 1 1 1 1 γ D’où O w v u S S v ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ γ β α 0 2 O O O O v u v u w v u ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 γ γ β α γ γ β α γ β α On a donc le schéma équivalent ci-contre (Liaison ponctuelle) Schéma cinématique équivalent Intérêt de la réalisation d'une liaison ponctuelle a l'aide d'un appui plan et d'une liaison rotule est d'avoir des liaisons à contact surfacique au lieu d'un contact ponctuel (pression infinie). 28/10/03 Modélisation des mécanismes page 3/5 Sciences Industrielles Chaînes de solides Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot b) Axe épaulé : Choix d'un modèle de représentation Hypothèse 1 1 > d l Hypothèse 2 3 . 0 < d l Graphe des liaisons H1 H2 On se propose de déterminer la liaison cinématique équivalente et le schéma équivalent. Le torseur cinématique équivalent doit respecter l'égalité suivante ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 1 1 2 1 2 1 2 L L v v v S S S S S S Schéma cinématique actuel H1 H2 Le Torseur d’une liaison Appui plan de normale en O x r { } 0 1 1 10 0 0 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = w v L v α Schéma équivalent H1 Liaison Pivot Glissant d’axe ( ) x O r , : ⇒ { } O u L v ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 0 0 0 0 2 2 2 α 0 0 = = 0 0 = 0 0 = 0= 1 1 2 1 = = = = = = = w v u w v u α α γ β α d’où le torseur cinématique équivalent 0 0 0 0 0 1 2 0 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ α v S S C’est à dire le torseur cinématique d’une liaison Pivot Remarque : β et γ sont deux fois imposés à 0 en effet les deux liaisons suppriment ces deux rotations. Le système est hyperstatique d'ordre 2 Pour pouvoir assembler ces deux pièces il faut une qualité d'usinage importante (coût important) mais l'assemblage est plus rigide. H2 Liaison linéaire annulaire de centre O et d’axe ( ) x O r , { } O u L v ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 0 0 2 2 2 2 2 γ β α ⇒ 0 0 = = 0 = 0 = 0= 1 1 2 2 2 2 1 = = = = = = = w v u w v u γ β α α γ β α d’où le torseur cinématique équivalent 0 0 0 0 0 1 2 0 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ α v S S C’est à dire le torseur cinématique d’une liaison Pivot Remarque 1 : Dans cet assemblage il ne subsiste qu'un seul degré de liberté, tous les autres degrés ne sont supprimés qu'une seule fois. Le système n'est pas hyperstatique. Remarque 2 : pour supprimer l'hyperstatisme d'un assemblage il suffit en général de modifier les liaisons. C. 28/10/03 Modélisation des mécanismes page 4/5 Sciences Industrielles Chaînes de solides Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot Graphe de structure; 1. Graphe des liaisons élémentaires Dans le graphe des liaisons élémentaires chaque couple de surface en contact est modélisé par une liaison élémentaire en fonction des uploads/Industriel/ mec2-chaines-de-solides 1 .pdf