Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

COMMANDE DE PROCÉDÉS Prof. D. Bonvin ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE L

COMMANDE DE PROCÉDÉS Prof. D. Bonvin ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Lausanne Février 2009 h OM qe N M hc qs Régulateur PRÉFACE Ce polycopié sert de support écrit pour le cours «Commande de procédés» offert aux étudiants de 6 e semestre de la Section de chimie de l’EPFL. Il ne rem- place en aucun cas une participation active au cours. Le cours présente certains outils mathématiques nécessaires à l’analyse des systèmes dynamiques et, en ce sens, pourrait être assimilé à un cours de base. Mais au-delà de cette coloration mathématique, ce cours doit permettre à l’étudiant-ingé- nieur d’appréhender les notions de signal et de système qui sont centrales à l’ana- lyse, la simulation, la conception, la commande et l’optimisation des procédés. A ces ﬁns, les outils mathématiques sont placés dans leur contexte d’application. La rigueur mathématique déductive a été omise chaque fois que cela était possible au proﬁt d’une approche plus descriptive et inductive. La démarche mathématique res- tante est alors indispensable à une étude quantitative des systèmes dynamiques. L’étudiant trouvera tout au long de cet ouvrage des questions (en italique dans le texte) lui permettant d’apporter un regard critique sur la matière traitée. La plu- part des symboles utilisés sont déﬁnis dans le texte et également dans une section «Symboles utilisés» à la ﬁn de chaque chapitre. Des exercices résolus (dans la plu- part des chapitres) et non résolus (à la ﬁn du polycopié) devraient permettre aux étu- diants de vériﬁer l’état des connaissances acquises. Ce polycopié ne représente qu’un premier effort d’offrir aux étudiants de la Section de chimie un support efﬁcace pour appréhender les problèmes de modélisa- tion et de commande qui les concernent. Plusieurs corrections ou améliorations seront encore nécessaires. Dans ce sens, l’auteur remercie d’avance les étudiants qui lui feront part de leurs remarques (dominique.bonvin@epﬂ.ch), comme il remercie les assistants-étudiants ainsi que Anne et John Kummli de recto verso qui l’ont aidé à réaliser la présente version de ce polycopié. Lausanne, février 2009 TABLE DES MATIÈRES PRÉFACE................................................................................. III CHAPITRE 1 INTRODUCTION À LA COMMANDE 1.1 Systèmes dynamiques...................................................... 1 1.1.1 Notion de système ............................................... 1 1.1.2 Propriétés des systèmes....................................... 2 1.2 Commande automatique.................................................. 5 1.2.1 Idée de base ......................................................... 5 1.2.2 Exemple: commande de température.................. 6 1.2.3 Eléments d’une boucle de commande................. 10 1.2.4 Objectifs de la commande................................... 10 1.3 Exercices résolus ............................................................. 11 1.4 Symboles utilisés............................................................. 14 CHAPITRE 2 MODÉLISATION MATHÉMATIQUE 2.1 Modèles mathématiques .................................................. 15 2.1.1 Domaines d’applications..................................... 15 2.1.2 Classes de modèles mathématiques..................... 15 2.1.3 Procédure de modélisation physique................... 16 2.1.4 Types de variables ............................................... 17 2.2 Cuve chauffée avec volume constant............................... 18 2.2.1 Suppositions ........................................................ 18 2.2.2 Bilan de masse..................................................... 19 2.2.3 Bilan d’énergie .................................................... 19 2.2.4 Grandeurs caractéristiques .................................. 19 2.3 Cuve chauffée avec volume variable ............................... 20 2.3.1 Suppositions ........................................................ 20 2.3.2 Bilan de masse..................................................... 20 2.3.3 Bilan d’énergie .................................................... 20 2.3.4 Grandeurs caractéristiques .................................. 21 2.3.5 Simpliﬁcation du modèle..................................... 21 2.3.6 Cas particulier: cuve isotherme........................... 22 2.4 Réacteur agité à marche continue.................................... 23 2.4.1 Suppositions ........................................................ 23 2.4.2 Bilan de masse..................................................... 24 2.4.3 Bilan molaire pour le composant A ..................... 25 2.4.4 Bilan molaire pour le composant B ..................... 25 VI Commande de procédés 2.4.5 Bilan d’énergie .................................................... 25 2.4.6 Grandeurs caractéristiques .................................. 26 2.4.7 Modèle à l’état stationnaire................................. 26 2.5 Colonne d’absorption ...................................................... 26 2.5.1 Suppositions ........................................................ 26 2.5.2 Bilan massique pour le composant absorbé (en phase liquide) sur le plateau i ........................ 27 2.5.3 Grandeurs caractéristiques .................................. 28 2.5.4 Simulation du système dynamique...................... 28 2.6 Modèle d’état................................................................... 29 2.6.1 Concept d’état...................................................... 29 2.6.2 Sélection des variables d’état .............................. 30 2.6.3 Représentation générale ...................................... 31 2.6.4 Modèle d’état linéaire et stationnaire.................. 33 2.6.5 Exemple: Cuve de mélange................................. 34 2.7 Simulation d’un modèle d’état ........................................ 35 2.8 Approximation linéaire d’un modèle non linéaire........... 38 2.8.1 Introduction ......................................................... 38 2.8.2 Procédure de linéarisation ................................... 39 2.8.3 Exemples ............................................................. 42 2.9 Exercices résolus ............................................................. 44 2.10 Symboles utilisés............................................................. 61 CHAPITRE 3 FONCTION DE TRANSFERT 3.1 Introduction ..................................................................... 63 3.2 Transformation de Laplace.............................................. 63 3.2.1 Déﬁnition............................................................. 63 3.2.2 Existence ............................................................. 63 3.3 Transformée de Laplace de signaux choisis.................... 65 3.3.1 Saut unité............................................................. 65 3.3.2 Rampe.................................................................. 66 3.3.3 Exponentielle....................................................... 67 3.3.4 Sinus et cosinus ................................................... 67 3.3.5 Impulsion de Dirac.............................................. 67 3.3.6 Dictionnaire de la transformation de Laplace ..... 69 3.4 Propriétés de la transformation de Laplace ..................... 69 3.4.1 Dérivation temporelle.......................................... 69 3.4.2 Intégration temporelle ......................................... 70 3.4.3 Translation dans le domaine de Laplace.............. 70 3.4.4 Translation dans le temps .................................... 71 3.4.5 Linéarité............................................................... 71 3.4.6 Valeur ﬁnale (régime stationnaire) ...................... 72 3.4.7 Valeur initiale (comportement initial) ................. 73 3.4.8 Dérivation dans le domaine de Laplace............... 73 3.4.9 Grammaire de la transformation de Laplace....... 73 3.5 Exemples de transformées de Laplace............................. 74 Table des matières VII 3.5.1 Echelon de durée ﬁnie ......................................... 74 3.5.2 Réponse exponentielle......................................... 75 3.5.3 Transformation de Laplace inverse...................... 76 3.6 Concept de Fonction de transfert..................................... 76 3.6.1 Déﬁnition............................................................. 76 3.6.2 Equations différentielles linéaires à coefﬁcients constants .............................................................. 77 3.6.3 Systèmes multivariables ...................................... 79 3.6.4 Domaine temporel et domaine de Laplace.......... 80 3.7 Transformation de Laplace inverse.................................. 81 3.7.1 Introduction ......................................................... 81 3.7.2 Eléments simples................................................. 81 3.7.3 Décomposition en éléments simples par réduction au même dénominateur ....................................... 82 3.7.4 Décomposition en éléments simples par la méthode des résidus................................... 83 3.7.5 Cas particuliers.................................................... 83 3.8 Exercices résolus ............................................................. 87 3.9 Symboles utilisés............................................................. 102 CHAPITRE 4 ANALYSE TEMPORELLE 4.1 Déﬁnitions préliminaires ................................................. 105 4.1.1 Introduction ......................................................... 105 4.1.2 Gain statique, pôles et zéros, équation caractéristique...................................................... 105 4.1.3 Ordre d’un système ............................................. 106 4.2 Etude d’un système simple: salle chauffée...................... 107 4.2.1 Variables écart ..................................................... 107 4.2.2 Modélisation du système..................................... 108 4.2.3 Fonctions de transfert .......................................... 108 4.2.4 Réponse de T ( t ) à un saut unité de P ( t ) ............... 109 4.2.5 Réponse de T ( t ) à un saut unité de T ext ( t )............ 111 4.2.6 Remarque importante concernant les notations... 111 4.3 Système du premier ordre................................................ 112 4.3.1 Représentation..................................................... 112 4.3.2 Réponse indicielle ............................................... 113 4.3.3 Réponse impulsionnelle ...................................... 115 4.3.4 Réponse à une rampe........................................... 116 4.3.5 Réponse harmonique........................................... 117 4.4 Système intégrateur du premier ordre ............................. 120 4.4.1 Représentation..................................................... 120 4.4.2 Réponse indicielle ............................................... 121 4.4.3 Exemple............................................................... 121 4.5 Système du deuxième ordre sans zéro............................. 123 4.5.1 Représentation..................................................... 123 4.5.2 Réponse indicielle ............................................... 124 VIII Commande de procédés 4.5.3 Systèmes oscillants et non oscillants................... 126 4.5.4 Identiﬁcation de la fonction de transfert.............. 126 4.6 Relation entre position des pôles et réponse temporelle.. 130 4.7 Exercices résolus ............................................................. 132 4.8 Symboles utilisés............................................................. 142 CHAPITRE 5 COMMANDES ÉLÉMENTAIRES 5.1 Types de commande ........................................................ 145 5.1.1 Commande manuelle........................................... 146 5.1.2 Commande en boucle ouverte ............................. 147 5.1.3 Commande en boucle fermée.............................. 147 5.1.4 Réduction de schémas fonctionnels .................... 147 5.2 Exemple: régulation de température................................ 149 5.2.1 Modélisation........................................................ 150 5.2.2 Analyse des éléments de la boucle de commande....................................................... 150 5.3 Commande tout-ou-rien................................................... 155 5.4 Commande proportionnelle............................................. 157 5.4.1 Fonction de transfert du régulateur proportionnel 157 5.4.2 Statisme ............................................................... 158 5.4.3 Saturation du régulateur ...................................... 159 5.4.4 Effet de la consigne T c ( t ) sur T ( t )........................ 160 5.4.5 Effet de la perturbation T e ( t ) sur T ( t )................... 161 5.4.6 Action directe ou inverse?................................... 162 5.5 Commande intégrale........................................................ 164 5.6 Commande dérivée.......................................................... 164 5.7 Commande proportionnelle-intégrale.............................. 165 5.7.1 Fonction de transfert du régulateur PI ................. 165 5.7.2 Effet de la consigne T c ( t ) sur T ( t )........................ 165 5.7.3 Effet de la perturbation T e ( t ) sur T ( t )................... 166 5.8 Commande proportionnelle-intégrale-dérivée................. 167 5.8.1 Fonction de transfert du régulateur PID .............. 167 5.8.2 Effet de la consigne T c ( t ) sur T ( t )........................ 168 5.8.3 Effet de la perturbation T e ( t ) sur T ( t )................... 169 5.8.4 Effets des termes P , I et D du régulateur PID ...... 169 5.9 Dimensionnement des régulateurs P , PI et PID .............. 170 5.9.1 Caractéristiques souhaitées du système bouclé... 170 5.9.2 Dimensionnement du régulateur (choix de K R , τ I et τ D ) ......................................... 171 5.9.3 Méthode empirique en boucle fermée................. 171 5.9.4 Méthode de Ziegler-Nichols................................ 172 5.9.5 Spéciﬁcation du système bouclé.......................... 175 5.9.6 Exemple............................................................... 177 5.10 Exercices résolus ............................................................. 180 5.11 Symboles utilisés............................................................. 191 Table des matières IX CHAPITRE 6 STABILITÉ ET PERFORMANCE DES SYSTÈMES BOUCLÉS 6.1 Déﬁnition et critère de stabilité ....................................... 193 6.1.1 Déﬁnition............................................................. 193 6.1.2 Critère de stabilité ............................................... 193 6.1.3 Exemples ............................................................. 196 6.2 Critère de stabilité de Routh-Hurwitz.............................. 198 6.2.1 Principe................................................................ 198 6.2.2 Exemples ............................................................. 199 6.2.3 Approximation d’un retard pur............................ 200 6.3 Performance d’un système bouclé................................... 202 6.3.1 Objectifs de la commande................................... 202 6.3.2 Asservissement et régulation............................... 202 6.4 Exercices résolus ............................................................. 204 6.5 Symboles utilisés............................................................. 209 CHAPITRE 7 COMMANDES AVANCÉES 7.1 Compensation de perturbations ....................................... 211 7.1.1 Principe................................................................ 211 7.1.2 Exemple: échangeur de chaleur .......................... 212 7.1.3 Conception du régulateur FF............................... 214 7.2 Commande de rapport ..................................................... 216 7.3 Commande en cascade..................................................... 218 7.3.1 Principe................................................................ 218 7.3.2 Exemple: régulation de la température uploads/Industriel/ commande-de-procedes.pdf