Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSIT´ E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH – F` ES FSJES – D´ epartement Sc. ´ Econ

UNIVERSIT´ E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH – F` ES FSJES – D´ epartement Sc. ´ Economiques et Gestion Premi` ere ann´ ee de Licence – S2– A.U. 2018–2019 Pr. S. BENHMIDA Sections E&F Corrig´ e de l’´ epreuve de Probabilit´ es Session ordinaire (Dur´ ee 2 heures) Exercice 1 : (4 points) on consid` ere les ´ ev´ enements suivants : D = ”le produit est d´ efectueux” et Ui = ”le produit provient de l’usine Ui” pour i = 1; 2. 1. D’apr` es les donn´ ees on a : P(U1) = 0, 75; P(U2) = 0, 25; P(D/U1) = 0, 02; P(D/U2) = 0, 04; P( ¯ D/U1) = 1 −P(D/U1) = 1 −0, 02 = 0, 98 et P( ¯ D/U2) = 1 −P(D/U2) = 1 −0, 04 = 0, 96. 2. Par la formule de Bayes on a : P(U1/D) = P(U1)P(D/U1) P(U1)P(D/U1) + P(U2)P(D/U2) = 0, 75 × 0, 02 0, 75 × 0, 02 + 0, 25 × 0, 04 = 0, 6. Puisque, P(U1/D) + P(U2/D) = 1, on d´ eduit, P(U2/D) = 1 −P(U1/D) = 1 −0, 6 = 0, 4. 3. P( ¯ D) = P(U1)P( ¯ D/U1) + P(U2)P( ¯ D/U2) = 0, 75 × 0, 98 + 0, 25 × 0, 96 = 0, 975. Exercice 2 : (5 points) On consid` ere la variable al´ eatoire : X = ”le nombre de salari´ es sans diplˆ ome parmi les 100 choisis”. On a, N = 3000 ; n = 100 et p = 0, 02, donc, N1 = pN = 0, 02×3000 = 60 et N2 = N −N1 = 2940. 1. D’apr` es les donn´ ees et puisque le choix des salari´ es est sans remise, la variable al´ eatoire X suit une loi hyperg´ eom´ etrique de param` etres, N = 3000 ; n = 100 et p = 0, 02. DX = {k ∈N : sup(0; n −N2) ≤k ≤inf(n; N1)} = {k ∈N : sup(0; −2840) ≤k ≤inf(100; 60)} = {k ∈N : 0 ≤k ≤60} et P(X = k) = Ck 60C100−k 2940 C100 3000 ; ∀k ∈DX. On note: X ∼H(3000; 100; 0, 02). 2. E(X) = np = 100 × 0, 02 = 2. V (Y ) = np(1 −p) × N −n N −1 = 100 × 0, 02 × 0, 98 × 2900 2999 = 1, 895. 3. D’une part, le taux de sondage n N = 100 3000 = 0, 033 < 0, 1, donc, on peut approximer la loi hyperg´ eom´ etrique H(3000; 100; 0, 02) de X par la loi binomiale de param` etres, n = 100 et p = 0, 02. On note: X ≈B(100; 0, 02). D’o` u, P(X = k) ≃Ck 100(0, 02)k(0, 98)100−k; ∀k ∈DX. D’autre part, on a , n = 100 > 50 et p = 0, 02 < 0, 1, donc on peut approximer la loi binomiale B(n; p) par la loi de Poisson de param` etre λ = np = 100 × 0, 02 = 2. On note: X ≈P(2). D’o` u, P(X = k) ≃e−2 × 2k k! ; ∀k ∈DX. 4. On calcule la probabilit´ e P(X = 1), par les deux lois approximatives. Par la loi binomiale : P(X = 1) ≃C1 100(0, 02)1(0, 98)99 ≃0, 271. Par la loi de Poisson : P(X = 1) ≃e−2 × 21 1! ≃0, 271. Epreuve de Probabilit´ es S2 Corrig´ e session ordinaire 2019 S. BENHMIDA Exercice 3 : (5 points) Soit l’´ ev´ enement, D = ”avoir une ampoule d´ efectueuse”. On a P(D) = 0, 1 = p. 1. On consid` ere la variable al´ eatoire X d´ eﬁnie par : X = ”le nombre de tirages n´ ecessaires pour avoir la premi` ere ampoule d´ efectueuse” D’apr` es les donn´ ees, X suit une loi g´ emometrique de param` etre p = 0, 1. DX = {k ∈N : 1 ≤k} = N∗et P(X = k) = (0, 1)(0, 9)k−1; ∀k ∈DX. On note: X ∼G(0, 1). 2. E(X) = 1 p = 1 0, 1 = 10 et σX = p V (X) = r (1 −p) p2 = r 0, 9 (0, 1)2 = √ 90 ≃9, 487.. 3. P(X ≤3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = (0, 1)(0, 9)0 + (0, 1)(0, 9)1 + (0, 1)(0, 9)2 = 0, 1 + 0, 09 + 0, 081 = 0, 271. 4. D’apr` es l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tch´ ebychev on a : P(|X −E(X)| < ε) ≥1 −V (X) ε2 ; ∀ε > 0. Or, E(X) = 10 ; V (X) = 90 et avec ε = 12, on a : P(|X −10| < 12) ≥1 −90 122 = 1 −90 144 = 0, 375. Exercice 4 : (6 points) X suit une loi normale g´ en´ erale de param` etres m = 80 h et σ = √ 25 = 5 h. On note: X ∼N(80; 5); U = X −80 5 ∼N(0; 1) et P(U < u) = π(u). 1. P(X < 85) = P( X−80 5 < 85−80 5 ) = P(U < 1) = π(1) ≃0, 841. 2. P(78 ≤X ≤82) = P( 78−80 5 ≤X−80 5 ≤82−80 5 ) = P(−0, 4 ≤U ≤0, 4) = 2π(0, 4) −1 = 2 × 0, 655 −1 = 0, 31. 3. Y = ” poids d’un paquet de 9 savonnettes en g”; si on consid` ere les neuf variables al´ eatoires Xi pour i = 1; 2; 3; ...; 9 : Xi = ”le poids de la i` eme savonnette en g”. Pour tout i; Xi ∼N(80; 5) et les Xi sont mutuellement ind´ ependantes, alors; Y = 9 X i=1 Xi et Y suit une loi normale g´ en´ erale de param` etres : m′ = 9m = 9 × 80 = 720g et σ′ = √ 9σ2 = √9 × 25 = 15g. On note : Y ∼N(720; 15); U = Y −720 15 ∼N(0; 1) et P(U < u) = π(u). E(Y ) = m′ = 720g et σY = σ′ = 15g. 4. P(Y ≥702) = 1 −P(Y < 702) = 1 −P( Y −720 15 ≤702−720 15 ) = 1 −P(U ≤−1, 2) = 1 −π(−1, 2) = 1 −(1 −π(1, 2)) = π(1, 2) ≃0, 885. 5. On cherche le poids maximal ym tel que P(Y ≥ym) = 0, 96. Or, P(Y < ym) = 1 −P(Y ≥ym) = 1 −0, 96 = 0, 04; et P(Y < ym) = P( Y −720 15 < ym−720 15 ) = P(U < ym−720 15 ) = π( ym−720 15 ) = 0, 04 < 0, 5. Donc, ym−720 15 < 0 et 720−ym 15 > 0, d’o` u, π( 720−ym 15 ) = 1 −π( ym−720 15 ) = 0, 96 = π(1, 75). Donc, 720−ym 15 = 1, 75, car la fonction π est bijective, d’o` u, ym = 720 −15 × 1, 75 = 693, 75g. uploads/Industriel/ corrige-epreuve-probabilites-session-ordinaire-2019-said-benhmida-pdf.pdf