Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1ère PROBABILITES LOIS ESPERANCE VARIANCE ECART TYPE FRLT Page 1 01/02/2016 htt

1ère PROBABILITES LOIS ESPERANCE VARIANCE ECART TYPE FRLT Page 1 01/02/2016 http://frlt.pagesperso-orange.fr/ 1 C Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous : xi -4 -1 1 2 4 5 P(X=xi) 16 1 16 3 16 5 16 4 16 2 16 1 2 C Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous : xi -20 -10 0 10 20 P(X=xi) 9 1 9 2 9 3 9 2 9 1 3 C Déterminer la valeur de x pour que l’espérance mathématique de la variable aléatoire dont la loi est définie dans le tableau suivant soit égale à 1 : xi -2 -1 1 2 x P(X=xi) 0.15 0.2 0.25 0.3 0.1 4 C La loi de probabilité d’une variable aléatoire est définie dans le tableau suivant : xi 1 2 3 P(X=xi) p p² 0.76 Calculer p. 5 C Déterminer les réels x et p pour que le tableau suivant définisse la loi de probabilité d’une variable aléatoire dont l’espérance vaut 0.5 : xi -2 -1 1 2 x P(X=xi) 0.1 0.25 0.4 0.2 p 6 C Déterminer les valeurs de p et q pour que le tableau suivant définisse la loi de probabilité d’une variable aléatoire dont l’espérance vaut 5.6. xi 1 5 8 10 P(X=xi) 0.2 p q 0.1 7 C Un joueur lance un dé : - si le numéro est un nombre premier, le joueur gagne une somme égale au nombre considéré (en euros) ; - sinon il perd ce même nombre d’euros. 1) Si X est le gain algébrique réalisé, donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique et son écart-type. 2) Le jeu est-il favorable au joueur ? 8 C Une urne contient un jeton numéroté 1, deux jetons numérotés 2 et 3 jetons numérotés 3. On tire, au hasard, successivement deux jetons sans remise. 1) Faire un arbre. 2) Quelle est la probabilité d’obtenir deux numéros identiques ? 3) On note X la somme des chiffres des deux jetons tirés. a) Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X ? b) Donner la loi de probabilité de X c) Calculer l’espérance et l’écart-type de X. 9 C Une urne contient : - 1 jeton vert rapportant 10€ - 3 jetons oranges rapportant chacun 5€ - N jetons rouges ne rapportant rien. Pour une mise de m €, un joueur peut tirer un jeton au hasard. On note X le gain du joueur. 1) Dans cette question, on suppose que la mise est de m = 1 €. Combien de jetons rouges faut-il mettre dans l’urne pour avoir un jeu équitable ? 2) Dans cette question, la mise m est inconnue et on suppose que n = 16. Quelle doit-être la mise pour avoir un jeu équitable ? 1ère PROBABILITES LOIS ESPERANCE VARIANCE ECART TYPE FRLT Page 2 01/02/2016 http://frlt.pagesperso-orange.fr/ 10 C Un jeu consiste à lancer simultanément un dé parfait et une pièce équilibrée de 1€. A pile on associe le nombre 1 et à face le nombre 2. Un résultat est la somme du numéro obtenu sur le dé et du nombre obtenu par la pièce. 1) Dessiner un arbre de toutes les possibilités. 2) En déduire la loi de probabilité des résultats. 3) Déterminer les probabilités suivantes : a) la somme est impaire b) la somme est multiple de 3 c) la somme n’est ni 6, ni 5 d) la somme est au moins 4 e) la somme est au plus 3. 11 C Une roue de loterie présente de nombreux secteurs munis d’une marque. Chaque secteur permet de gagner 100 €, 10 €, 5 € ou 1 € ou ne rien gagner (0 €). 8 % gagnent 5 € ; le cinquième gagne 1 € ; le vingtième gagne 10 € et plus, dont le dixième gagne 100 €. On admet que la répartition des secteurs selon le gain définit une loi de probabilité. On appelle X la variable aléatoire égale au gain obtenu. 1) Déterminer la loi de X. Justifier que plus des deux tiers des secteurs ne gagnent rien (0 €). 2) Montrer que l’espérance de X est 1,55 € 3) Si le prix du billet est de 2 €, calculer l’espérance de recette par billet pour le gérant de cette loterie. 4) Les frais fixes se montent à 1500 €. 5) Combien de billets au minimum ce gérant doit-il vendre pour réaliser un profit ? 12 C Jérémy lance 2 dés à 6 faces simultanément. Soit X la variable aléatoire représentant la somme des chiffres obtenus sur les deux dés. 1) Déterminer les valeurs possibles de X. 2) Déterminer la loi de probabilité de X. 3) Calculer l’espérance de X. 4) Calculer l’écart-type de X. En donner une valeur approchée à 10-2 près. 5) Calculer p(X > 6) et p(X = 12). 13 C Dans cet exercice, n est un entier supérieur ou égal à 4. On place n jetons dans une urne : un jaune et des blancs. A chaque fois que l’on choisit au hasard un jeton, on note : J = « le jeton obtenu est jaune » ; B = « le jeton obtenu est blanc » 1) On suppose que l’on choisit juste un jeton. Exprimer en fonction de n les probabilités p(J) et p(B). 2) On choisit maintenant successivement deux jetons avec remise. On gagne 16€ si l’on obtient deux fois le jeton jaune ; on gagne 1€ si l’on obtient deux fois un jeton blanc et on perd 5€ sinon. On note X le gain algébrique en euros. a) Représenter cette situation à l’aide d’un arbre. b) Déterminer la loi de probabilité de X c) Exprimer E(X) en fonction de n d) Comment choisir n pour avoir E(X) = 0 ? 14 C On propose le jeu suivant : Pour une mise de 6 €, on lance un dé parfaitement équilibré. - si le dé amène un 6, on reçoit 18 € - si le dé amène un 5, on reçoit 6 € - si le dé amène un 4, on reçoit 1 € - Dans les autres cas, on ne reçoit rien. 1) Soit X la variable aléatoire donnant le gain à l’issue d’une partie. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. Interpréter E(X). 2) Un joueur se présente ; il n’a que 10 € en poche. a) Quelle est la probabilité qu’il puisse jouer une deuxième partie ? b) Quelle est la probabilité qu’il lui reste 10 € à l’issue de cette deuxième partie sachant qu’il peut jouer une deuxième partie ? (Pour ces deux questions, construire un arbre décrivant les divers états possibles de la fortune du joueur). 1ère PROBABILITES LOIS ESPERANCE VARIANCE ECART TYPE FRLT Page 3 01/02/2016 http://frlt.pagesperso-orange.fr/ 15 C Un commerçant possède un lot de 500 pantalons de taille allant de 1 à 4 et de couleur rouge, verte ou blanche. Après l’inventaire de son lot, le commerçant constate que les tailles 1 représentent 60 % du stock, que les tailles 2 en représentent 20 % et qu’il y a autant de tailles 3 que de tailles 4. D’autres parts, parmi les tailles 1, 30 % des pantalons sont blancs et 50 % sont verts. Enfin pour chacune des tailles 2,3 et 4, 20 % des pantalons sont blancs et 40 % sont verts. 1) Compléter le tableau suivant : 1 2 3 4 total blanche rouge verte total 500 2) Ce commerçant décide de vendre 30 € chaque pantalon vert de taille 1, ainsi que chaque pantalon blanc ou rouge des tailles 2,3, et 4. Les autres pantalons de la taille 1 seront vendus 35 €, et les pantalons verts des tailles 2,3, et 4 15 € l’unité. Un client choisit au hasard un pantalon. a) Déterminer la probabilité que ce pantalon soit vert. b) Sachant que ce pantalon coûte 30 €, déterminer la probabilité qu’il soit vert. c) On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque pantalon choisi, associe son prix. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. 16 C On considère un dé non truqué à six faces non numérotées mais coloriées. Il y a deux faces rouges, deux faces vertes et deux faces orange. On lance le dé une fois. On gagne à tous les coups sauf si la face obtenue est rouge. 1) Expliquer brièvement pourquoi on a une chance sur trois de perdre. 2) On suppose que l’on reçoit 5 € lorsqu’on gagne et que l’on donne 2 fois plus lorsqu’on perd. Ce jeu est-il équitable ? 17 C Dans une urne, on met trois jetons portant le numéro 1, deux jetons portant le numéro 2 et un jeton portant le numéro 3. Partie A : on tire successivement deux jetons sans remise. Soit E l’ensemble de tous les uploads/Industriel/ 1-lois-de-probabilites.pdf