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Coût marginal et optimisation du coût de production 1 Exemple d’introduction Un

Coût marginal et optimisation du coût de production 1 Exemple d’introduction Une semaine avant son entrée en terminale, un élève de première générale ayant choisi la spécialité « Mathématiques » décide de réviser tout son cours de Mathématiques depuis le début de son année de première sans s’arrêter ! De 8H à 9H, il est en pleine forme et très motivé. Il réussit à réviser et apprendre parfai- tement 12 pages de cours. De 9H à 10H, 12 nouvelles pages. De 10H à 11H, il commence à fatiguer, mais il persévère, et parvient à apprendre 10 pages. Chaque nouvelle heure de révision est alors de plus en plus diﬃcile... de 17H à 18H, il arrive diﬃcilement à réviser et apprendre 1 page et commence à mélanger toutes les no- tions... Au ﬁnal, toute nouvelle heure de révision supplémentaire est de moins en moins eﬃcace. N’aurait-il pas mieux valu arrêter, prendre un temps de repos bien mérité et reprendre le lendemain ? 2 Quelques déﬁnitions du programme de SES Coût total : coût subi par l’entreprise lors de son activité productive. Il est la somme des coûts ﬁxes (qui ne dépendent pas du volume de production) et des coûts variables (qui eux varient en fonction de la quantité produite). Coût moyen : rapport entre le coût total et la quantité produite. Il donne le coût qu’en moyenne chaque unité produite a généré, même si chaque unité n’a pas nécessairement coûté ce prix là. Coût marginal : coût additionnel lié à la production d’une unité supplémentaire. Loi des rendements décroissants : loi selon laquelle plus le niveau de production est élevé, et moins la productivité marginale des facteurs de production utilisés est forte. Par conséquent, plus le niveau de production est élevé, et plus le coût moyen sera fort. 1 3 Un exemple discret Voici un tableau résumant les coûts pour la production de 10 unités de produit. Quantité Coût Coût Coût Coût Coût ﬁxe variable total marginal moyen 0 100 0 100 1 100 80 180 80 180 2 100 150 250 70 125 3 100 210 310 60 103,33 4 100 260 360 50 90 5 100 300 400 40 80 6 100 360 460 60 76,67 7 100 430 530 70 75,71 8 100 530 630 100 78,75 9 100 680 780 150 86,67 10 100 880 980 200 98 On remarque que tant que le coût marginal est inférieur au coût moyen, le coût moyen est décroissant. En revanche, dès que le coût marginal devient supérieur au coût moyen, celui-ci devient croissant. Ainsi, dans l’exemple proposé, le coût marginal est minimum pour 5 produits. Cela si- gniﬁe que le surcoût engendré par la production d’un produit supplémentaire est le plus faible pour le cinquième produit. Cependant, on remarque de le coût marginal est inférieur au coût moyen jusqu’au septième produit. Le coût moyen est alors minimal pour la production de 7 produits. Le coût de production est alors optimisé et le rendement maximal. Que faire avec les élèves ? Le tableau ci-dessous peut être donné à compléter et il est aussi possible d’ajouter des colonnes pour la recette et le bénéﬁce. Ce tableau peut aussi être réalisé sur tableur. Les courbes du coût marginal et du coût moyen peuvent être représentées sur un même graphique pour mettre en évidence leur point d’intersection. Celui-ci correspondra à la situation optimale. Diverses questions sur l’évolution de la production peuvent être poser et les automatismes sur les calculs de pourcentages peuvent être réactivés. Ce travail peut être réalisé en transdisciplinarité avec les collègues de SES. 4 Vers la continuité... Dans le cadre de la production d’un très grand nombre de produits ou de la production d’un produit assimilable à quelque chose de continu (liquide, gaz...), le coût peut être modélisé par une fonction. Même si, économiquement, cette modélisation n’est pas si simple et de nombreux facteurs sont à prendre en compte... Soit f la fonction déﬁnie sur [0; 5] par f(x) = 0, 2x2 + 0, 2x + 2. La variable x représente le nombre, en millions, d’unités produites On suppose que f(x) modélise le coût de production, en millier d’euros, de x produits. 2 Dans cette situation, le coût marginal est assimilé à la dérivée f ′ de la fonction f sur [0; 5] et le coût moyen est déﬁni sur ]0; 5] par : g(x) = f(x) x . 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 nombre de produits Coût moyen coût marginal Cf′ Cg De manière assez similaire à l’exemple discret, le point d’intersection des courbes du coût marginal et du coût moyen donne la valeur optimale de production de l’entreprise. En eﬀet, ce point correspond au minimum du coût moyen. Que faire avec les élèves ? Cette situation oﬀre diverses possibilités de travaux autour des fonctions : — travail sur le taux d’accroissement pour justiﬁer l’emploi de f ′(x), — calculs de dérivées, — études de fonctions, — détermination de minimum, — recherche des coordonnées du point d’intersection (avec une méthode par balayage, avec un algorithme)... Une fonction « recette » peut aussi être introduite pour travailler sur le bénéﬁce. Sources : — les mathématiques dans l’économie,par Lluís Artal et Josep Sales, collection le monde est mathématiques présentée par Cédric Villani. — Documents fournis par l’équipe de SES du lycée Calvin de Noyon. — Documents issus du site la revanche des SES. 3 uploads/Industriel/ 1gen-cout-marginal-optimisation-du-cout.pdf