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Transformation de Laplace Pr. M.S. BOUCHERIT LCP Pr. M.S. BOUCHERIT Laboratoire

Transformation de Laplace Pr. M.S. BOUCHERIT LCP Pr. M.S. BOUCHERIT Laboratoire de Commande des Processus Ecole Nationale Polytechnique Alger Les commentaires constructifs et les rapports d’erreurs sont les bienvenus Importance de la Modélisation Exemple d’application 1: Le réglage de niveau Nous reprenons l’exemple du réglage de niveau, avec différents types de commande. Nous commençons par une commande manuelle du niveau: Nous reprenons l’exemple du réglage de niveau, avec différents types de commande. Nous commençons par une commande manuelle du niveau: Dans ce qui suit, nous présentons différentes applications de l’automatique pour le réglage de niveau d’un fluide : Dans ce qui suit, nous présentons différentes applications de l’automatique pour le réglage de niveau d’un fluide : Exemple d’application 2: Le réglage automatique de niveau Surveillance automatique du niveau et commande des barrages Dans le cas de cet exemple de réglage de niveau, l’opérateur règle uniquement la consigne, qui est le niveau à ne pas dépassé par l’eau dans le barrage. Réglage automatique classique: Exemple d’application 3: Le réglage automatique de niveau Exemple d’application 3: Le réglage automatique de niveau Réglage automatique moderne: Les exemples 2 et 3 ne nécessitent pas de modélisation, tandis que pour l’exemples 4, la modélisation est inévitable. Les exemples 2 et 3 ne nécessitent pas de modélisation, tandis que pour l’exemples 4, la modélisation est inévitable. Exemple d’application 4: Le réglage automatique de niveau Exemple d’application 4: Le réglage automatique de niveau Automatique Septembre 2015 7 Structure d’un système asservi Rappel : Rappel : On peut conclure que: La synthèse analytique du contrôleur (régulateur, correcteur) nécessite la connaissance du modèle mathématique du système à régler et de l’organe de mesure (capteur). Rappel de la structure de commande: Rappel de la structure de commande: modèle mathématique Le modèle mathématique d’un système linéaire monovariable est une équation différentielle linéaire. Un système linéaire d’ordre n, d’entrée x(t) et de sortie y(t), est régi, pour t>0, par une équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre n, soit : 1er Ordre: 2e Ordre: Nous écrivons l’équation de la maille: Avec: D’où: Exemple de modélisation du circuit RC: Le modèle mathématique d’un système est la relation entre les grandeurs d'entrée et les grandeurs de sortie du système. Rappel sur la notion de système Rappel sur la notion de système Relation entre un phénomène physique et son modèle mathématique Soit le processus physique définit, après modélisation, par l’équation différentielle générale d’ordre n suivante: l’équation différentielle représente donc un système d’entrée x(t) et de sortie y(t), définit par le schéma fonctionnel suivant: Rappel du problème mathématique concernant la résolution d’une équation différentielle et sa relation avec le comportement d’un système linéaire monovariable . EXEMPLES 1er Ordre: 2e Ordre: 2e Ordre: Circuit RC (1er Ordre): Circuit RC (1er Ordre): Remarque: Existence de la transformation D’un point de vue mathématique, la transformation de Laplace F(s) n’existe pas tout le temps. Il est donc nécessaire de vérifier l’existence de toute transformation de Laplace. Pour les modèles mathématiques régissant les processus physiques, le problème d’existence n’existe pas. Remarque: Certaines transformées de Laplace peuvent être calculées en utilisant les propriétés de la transformation de Laplace. Remarque : La multiplication par e-at dans le domaine temporelle entraîne une translation dans le domaine complexe s. Remarque : La transformée de Laplace d’une fonction retardée est déduite par une multiplication de transformée F(s) par e-sT. L’expression e-sT étant l’opérateur du retard et T le retard. 4. Application de la transformation de Laplace aux équations différentielles Résolution de l’équation différentielle La transformation de Laplace de l’équation différentielle, tenant de la propriété de la dérivée, donne : - Le premier terme dépend du signal appliqué à l’entrée du système. - Le second terme ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée du système. Il dépend des CI sur la sortie du système. La sortie Y(s) est la somme de deux termes : - Le premier terme dépend du signal appliqué à l’entrée du système. - Le second terme ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée du système. Il dépend des CI sur la sortie du système. La solution y(t) est alors donnée par la Transformée inverse: Le premier terme, qui dépend du signal appliqué à l’entrée du système, représente la réponse forcée. Le second terme, qui ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée, représente la réponse libre. Elle ne dépend que des CI sur la sortie et correspond à la solution sans second membre de l’équation différentielle. Le dénominateur des deux termes est le même. C’est le polynôme caractéristique de l’équation différentielle : Ainsi, Le premier terme, qui dépend du signal appliqué à l’entrée du système, représente la réponse forcée. Le second terme, qui ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée, représente la réponse libre. Elle ne dépend que des CI sur la sortie et correspond à la solution sans second membre de l’équation différentielle. Remarque : Le dénominateur des deux termes est le même. C’est le polynôme caractéristique de l’équation différentielle : Les racines sont appelés les pôles du système. Dans le cas de l’équation différentielle 2ème forme : La transformation de Laplace de l’équation différentielle, tenant compte de la propriété de la dérivée, donne : Ainsi, la réponse dans le plan complexe de Laplace est : Le premier terme dépend du signal appliqué à l’entrée du système.  Le second terme dépend des CI sur l’entrée du système.  Le troisième terme ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée du système. Il dépend des CI sur la sortie du système. La sortie Y(s) est la somme de trois termes :  Le premier terme dépend du signal appliqué à l’entrée du système.  Le second terme dépend des CI sur l’entrée du système.  Le troisième terme ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée du système. Il dépend des CI sur la sortie du système. La solution y(t) est alors donnée par la Transformée inverse de Y(s): Le premier terme, qui dépend du signal appliqué à l’entrée, représente la réponse forcée.  Le second terme, qui dépend des CI du signal appliqué à l’entrée, représente aussi la réponse forcée.  Le troisième terme, qui ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée, représente la réponse libre. Ainsi,  Le premier terme, qui dépend du signal appliqué à l’entrée, représente la réponse forcée.  Le second terme, qui dépend des CI du signal appliqué à l’entrée, représente aussi la réponse forcée.  Le troisième terme, qui ne dépend pas du signal appliqué à l’entrée, représente la réponse libre. APPLICATIONS Exercice 1. Le système est un moteur électrique, régit par une équation différentielle linéaire du second ordre, donnée par l’équation suivante: Déterminer la réponse du système, lorsque le moteur est soumis à une entrée échelon unitaire. Modélisation d’un MCC Exercice 2. Le système est un circuit RC d’entrée e(t) et de sortie s(t), donné par la figure: Déterminer la tension s(t), lorsque le système est soumis à une tension d’entrée en rampe e(t) = 3t. Le courant qui circule dans R et C étant noté i(t). 5. Fonction de transfert Définir la FT (à partir du résultat) DEVOIR MAISON A rendre le: dimanche 21 octobre 2018 uploads/Industriel/ 2-t-de-laplace-2018-19-pdf.pdf