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Table des matières 1 Eléments de calcul tensoriel 3 1.1 Déﬁnitions générales .

Table des matières 1 Eléments de calcul tensoriel 3 1.1 Déﬁnitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tenseurs d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Contraction d’un tenseur selon un couple d’indice . . . . . . . . . . 4 1.2 Tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Matrice d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Endomorphisme associé à un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Contractions d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . 6 1.2.4 Contractions de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 Double contraction de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6 Dérivée d’une fonction par rapport à un tenseur . . . . . . . . . . . 7 1.3 Contractions d’un tenseur d’ordre 4 et d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . 8 1.4 Calcul diﬀérentiel sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Gradient d’un champ de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Divergence d’un champ de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Formulaire de calcul diﬀérentiel sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 coordonnées cartésiennes orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.3 coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Descriptions du mouvement des milieux continus 15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Description Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Vitesse et accélération lagrangiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Approche eulérienne du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.3 Mouvements permanents (ou stationnaires) . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Tenseurs de déformation 23 3.1 Tenseurs de déformation en transformation ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1 Transport des vecteurs matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.2 Tenseur des dilatations de Cauchy-Green . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.3 Déformation de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.4 Composantes du tenseur de déformation de Green-Lagrange . . . . 26 1 2 TABLE DES MATIÈRES 3.2 Transformation inﬁnitésimale et tenseur des déformations linéarisé . . . . . 27 3.2.1 Hypothèse de petites perturbations (HPP) - Déﬁnition . . . . . . . 27 3.2.2 Condition de compatibilité géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.3 Forme générale des solutions du problème 3.23 . . . . . . . . . . . . 30 3.2.4 Bref commentaires sur les mesures de déformation . . . . . . . . . . 31 3.2.5 Annexe : Rotation inﬁnitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Cinématique des milieux continus - Taux de déformation 33 4.1 Taux de déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Tenseur taux de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Dérivées particulaires d’un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.2 Application au calcul de l’accélération eulérienne . . . . . . . . . . 36 4.3.3 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 Dérivées particulaires d’une intégrale de volume . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4.1 Formulation et application à la conservation de la masse . . . . . . 37 4.4.2 Une 2e application : la conservation de la quantité de mouvement . 38 4.5 Annexe : expression de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Contraintes dans un milieu continu tridimensionnel 41 5.1 Modélisation des eﬀorts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Lemme du tétraèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3 Tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3.1 Déﬁnition et interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3.2 Equation d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3.3 Symétrie du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3.4 Discontinuités du champ de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.4 Dualisation de l’équation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.4.1 Théorème des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . uploads/Industriel/ cours-mmc-chap-1-4.pdf