République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université de Tébessa Faculté des Sciences et de la Technologie Département de Génie Mécanique POLYCOPIE DE COURS Présentée par : Dr : DEGHBOUDJ Samir MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS COURS ET APPLICATIONS Année 2016 1 • Préface La mécanique des milieux continus (en abrégée M.M.C), est une branche de la mécanique qui à pour objectifs l'étude des mouvements, des déformations, des champs de contraintes au sein de milieux continus (solide ou fluides). Cette branche qui peut être considérée comme étant la science de l'ingénieur par excellence, permet de comprendre et de décrire le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courants qui s'y déroulent. Elle est basée sur les lois universelles de la mécanique classique, appelées lois de conservations (masse, quantité de mouvement , moment de rotation et énergie) associées aux informations portées sur les propriétés intrinsèques du milieu étudié par les équations de constitution, telles que la loi de Hooke en élasticité et celle des gaz parfaits en dynamique des fluides. La mécanique des milieux continus permet d’analyser des phénomènes physiques grâce à une description mathématique rigoureuse. Cet ouvrage est principalement inspiré des cours de mécanique de milieux continus et élasticité donnés par l’auteur au département de génie mécanique de l’université de Tébessa. Ce travail destiné aux étudiants de la spécialité génie mécanique et ceux des cursus proches tels que le génie civil et l’hydraulique qui poursuivent des études de Licence ou de Master, représente en fait l’effort de plusieurs années d’enseignement. Le contenu et la progression de cet ouvrage ont été conçus avec trois objectifs : 1. Apporter à l’étudiant de la discipline les éléments nécessaires pour aborder des problèmes de mécanique des solides. 2. Soutenir et contribuer aux efforts de l’enseignement de cette discipline (MMC) en mettant à la disposition de l’étudiant un document rigoureux et pratique. 3. Présenter aux étudiants, cette discipline ainsi que ses capacités et ses limites pour qu’ils enrichissent leurs culture dans le domaine. Cet ouvrage est divisé en cinq chapitres : le premier a été consacré à un rappel de mathématique comportant les outils de bases nécessaires aux développements des différents concepts de la MMC. Le deuxième chapitre présente les équations de base de la cinématique des milieux continus. Dans le troisième chapitre nous avons présenté les tenseurs de contraintes. Nous avons aussi présenté dans le quatrième chapitre la théorie des déformations. Pour terminer le cinquième chapitre présente la relation entre les contraintes et les déformations et les concepts fondamentaux des lois de comportements pour un milieu continu élastique. Chapitre 1 Rappel de Mathématique 2 Chapitre 1 Rappel de Mathématique 1.1 Définition Lorsqu’on étudie les phénomènes physiques on rencontre deux sortes de grandeurs, les scalaires et les vecteurs. Un scalaire est défini par un seul nombre indépendamment des axes de références exemples: (masse, température, volume, pression....etc.). Un vecteur est inséparable de la notion de direction, il est défini par sa direction, sa longueur, son point d’application et par son sens. 1.2 Composantes d’un vecteur Soit un repère orthonormé R(O, x  , x   , x   ) muni d’une base orthogonale (e  , e   , e   ) tel que : |e  | = |e   | = |e   | = 1 , si V   est un vecteur de ce repère, alors il peut être décomposé en trois composantes V1, V2, V3 selon les trois axes de références x  , x   , x   . Celles-ci s’appellent coordonnées rectangulaires. V   peut s’écrire comme suit: V   = V e   + V e   + V e   (1.1) Ou bien : V   =  Ve    (2.1) La convention d’Einstein permet d’écrire la relation (2.1) sous une autre forme plus simplifiée : V   = Ve   (3.1) O    V3 V2 V1 X2 X1 X3 Fig.1.1 Coordonnées rectangulaires d’un vecteur 3 1.3 Module d’un vecteur On appelle module ou norme d’un vecteur sa longueur notée: V = V   = V  + V + V (4.1) 1.4 Opérations sur les vecteurs 1.4.1 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs U   et V  , noté U  . V   est défini par la relation suivante : U  . V   = U. V. cos ( U  , V  ) (5.1) Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Si l’angle entre deux vecteurs U   et V   est égal à 90° alors le produit scalaire de ces vecteurs est nul. Dans la base orthogonale (e  , e   , e   ): e  . e   = e   . e   = e   . e   = 0 (6.1) Si l’angle entre deux vecteurs U   et V   est égal à 0° alors le produit scalaire de ces vecteurs est U.V s’ils sont de même sens et –U.V s’ils sont opposés. Dans la base orthogonale (e  , e   , e   ): e  . e   = e   . e   = e   . e   = 1 (7.1) Des deux dernières relations (6.1) et (7.1) on peut déduire la relation suivante: e  . e  % = δ% = & 0 si i≠j 1 si i = j ) (8.1) δ% est appelé symbole de Kronecker, il fait grand usage dans le calcul tensoriel. 1.4.2 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs U   et V   est un vecteur W  , on le note: W  = U  ∧V   (9.1) U   V   Fig.2.1 Produit scalaire de deux vecteurs 4 Le module de W  = U  ∧V   est défini par les modules de U   et V   et le sinus de l’angle formé par ces deux vecteurs. -U  ∧V  - = -U  -. -V   -. sin(U  , V  ) (10.1) La direction de W  est perpendiculaire au plan de U   et V  , son sens est tel que U   , V   et W  forment un dièdre direct . Soient deux vecteurs U   et V   de composantes respectivement : U  (U, U , U ) et V  (V , V , V ) alors : U  ∧V   = / e   e   e   U U U V  V V / (9.1) Grace à la règle du déterminant on calcule ce produit vectoriel et on obtient: U  ∧V   = (U V −U V ). e   + (U V  −UV ). e   + (UV −U V ). e   (10.1) Propriétés : Si une base (e  , e   , e   ) est orthogonale alors en utilisant les propriétés du produit vectoriel on peut écrire : e  ∧e   = e   e   ∧e   = e   e   ∧e   = 0 e   ∧e   = e   e  ∧e   = 0 e   ∧e   = 0 1.4.3 Produit Mixte Le produit mixte est une combinaison des produits scalaire et vectoriel, de trois vecteurs U   , V   et W  . Ce produit est noté : U  . 1V  ∧W 2 ou bien (U  , V  , W ) Le produit mixte (U  , V  , W ) est se calcule de la manière suivante : U  . 1V  ∧W 2 = 3 U U U V  V V W  W W 3 (11.1)    4   4  ∧ ∧ ∧ ∧   a Fig.3.1 Produit vectoriel de deux vecteurs 5 1.5 Symbole de permutation ε ε ε ε678 Le produit mixte U  . 1V  ∧W 2 peut être exprimé en fonction des composantes des trois vecteurs U  , V  , W  et du Symbole de permutation ε%9 U  . 1V  ∧W 2 = ε%9. U. V%. W9 (12.1) ε%9 Comporte trois indices, ce qui permet d’effectuer 6 permutations par rapport à ces indices. Par convention ε%9 = +1 pour une permutation paire de (1,2,3), ε%9 = −1 pour une permutation impaire de (1,2,3) et 0 si deux indices sont identiques. • Permutations possibles ε%9 Nombre de permutations Type de permutations Valeur affectée à uploads/Industriel/ mecanique-des-milieux-continus.pdf

Tags
Industrieltenseur contraintes déformation relation vecteur
Documents similaires
  • 18
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager