Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUP

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FERHAT ABBAS DE SETIF 1 Cours SYSTEMES NON LINEAIRES Emira NECHADI Table des matières Introduction …………………………………………………………………………. 1 1. Notions générales sur les systèmes non linéaires ……………………………. 2 1.1. Systèmes non linéaires ………………………………………………………… 2 1.2. Points d’équilibre d’un système non linéaire ……………………………… 2 1.3. Exemples …………………………………………………………………………. 2 1.3.1. Exemple 1 …………………………………………………………………….. 2 1.3.2. Exemple 2 …………………………………………………………………….. 3 1.4. Cycles limites ……………………………………………………………………. 4 1.4.1. Exemple ………………………………………………………………………... 4 1.5. Bifurcations ………………………………………………………………………. 5 1.5.1. Exemple ………………………………………………………………………… 5 1.6. Chaos …………………………………………………………………………… 6 2. Exemples des systèmes non linéaires …………………………………………. 7 2.1. Pendule simple ………………………………………………………………… 7 2.2. Oscillateur à résistance négative ……………………………………………… 8 3. Stabilité d’un système non linéaire ………………………………………… 10 3.1. Plan de phase ………………………………………………………………… 10 3.1.1. Points singuliers …………………………………………………………… 11 3.1.2. Nature des points singuliers ……………………………………………… 12 3.2. Stabilité de Lyapunov …………………………………………………………. 14 3.2.1. Théorème de Lyapunov …………………………………………………… 15 3.2.2. Exemple ……………………………………………………………………….. 15 4. Non linéarités typiques ………………………………………………………….. 15 4.1. Classe des non-linéarités ……………………………………………………… 17 4.2. Exemple d’un système tout ou rien ………………………………………….. 17 5. Nécessité pour un système de commande non linéaire ……………………… 18 6. Commande par mode glissant ………………………………………………….. 18 6.1. Introduction …………………………………………………………………….. 18 6.2. Des systèmes à structure variable aux régimes glissants ………………….. 20 6.3. Représentation des systèmes à structure variable ………………………... 21 6.3.1. Commutation par contre réaction d’état variable ………………………. 21 6.3.2. Commutation de type relais ………………………………………………… 22 6.4. Description du mode glissant pour les systèmes non linéaires ………… 22 6.4.1. Définition …………………………………………………………………… 22 6.4.2. Approche de Filippov ……………………………………………………… 23 6.4.2.1. Théorème …………………………………………………………………. 24 6.4.3. Condition de glissement …………………………………………………... 24 6.4.4. Dynamique glissante ………………………………………………………. 25 6.4.4.1. Définition …………………………………………………………………. 25 6.4.4.2. Approche de la commande équivalente ……………………………...... 25 6.4.4.3. Domaine de glissement …………………………………………………… 26 6.4.4.3.1. Théorème ……………………………………………………………...….. 27 6.4.5. Invariance des régimes glissants vis à vis des perturbations …………… 27 6.4.5.1. Définition …………………………………………………………………. 28 6.4.5.2. Théorème ………………………………………………………...…………. 28 6.4.6. Bouclage linéarisant à structure variable ………………………………… 28 6.4.6.1. Linéarisation exacte par retour d’état statique ……………………….. 29 6.4.6.2. Bouclage a structure variable …………………………………………… 30 6.4.7. Robustesse par rapport aux perturbations ………………………………… 31 6.4.8. Extensions méthodologiques ……………………………………………... 32 6.4.8.1. Commande continue selon Slotine ……………………………………… 33 6.4.8.2. Commande par mode glissant sans phase d’approche ………………… 34 6.4.8.3. Exemple …………………………………………………………………...… 35 Conclusion 1 Introduction : Un système, agrégation d’éléments interconnectés, est constitué naturellement ou artificiellement afin d’accomplir une tâche prédéfinie. Son état est affecté par une ou plusieurs variables, les entrées du système. Le résultat de l’action des entrées est la réponse du système qui peut être caractérisée par le comportement d’une ou plusieurs variables de sorties. Le système complet ou un des éléments le composant est généralement représenté par un schéma fonctionnel. L’action des entrées produit de manière causale des effets mesurés par les signaux de sortie représentés par des flèches sortantes. Les entrées affectant un système peuvent être de nature différente. Les unes ont pour but d’exercer des actions entrainant le fonctionnement souhaité du système ; ce sont les commandes. Les autres entrées troublent le fonctionnement désiré et sont définies comme des perturbations. Chaque élément constitutif de l’ensemble système peut être caractérisé par un nombre fini de variables et l’interdépendance des variables caractérisant chaque élément peut être exprimé sous la forme d’une loi mathématique. Ainsi la relation entre les entrées et les sorties du système est l’expression des lois de la physique associées au système, c’est `a dire la combinaison des lois mathématiques précédentes. L’ensemble des lois mathématiques régissant la causalité entre les entrées et les sorties du système constitue le modèle mathématique du système. La modélisation, étape préliminaire de l’analyse d’un système quelconque, indépendamment de sa nature physique, de sa composition et de son degré de complexité. La modélisation dépend ainsi de la nature physique du système mais aussi des hypothèses simplificatrices qu’il est possible de faire. Traitant uniquement dans ce cours des systèmes dynamiques, leur comportement sera décrit par des équations différentielles dans le cas de modèles en temps continu. Les méthodes d’étude des systèmes linéaires sont très puissantes en raison des outils disponibles (algèbre linéaire, équations différentielles et systèmes 2 différentiels linéaires, …etc). Malgré tout, se cantonner aux systèmes linéaires présente plusieurs limitations : • Aucun système physique n’est complètement linéaire. Les méthodes linéaires ne sont donc applicables que dans un domaine de fonctionnement restreint. • Certains systèmes sont impossibles à modéliser, même localement, à des systèmes linéaires. • Certains phénomènes ne peuvent pas être décrits par des modèles et méthodes linéaires. 1. Notions générales sur les systèmes non linéaires : 1.1. Systèmes non linéaires : Un système non linéaire est un système qui n’est pas linéaire, c’est-à-dire qui ne peut pas être décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Cette définition explique la complexité et la diversité des systèmes non linéaires et des méthodes qui s’y appliquent. Il n’y a pas une théorie générale pour ces systèmes, mais plusieurs méthodes adaptées à certaines classes de systèmes non linéaires. 1.2. Points d’équilibre d’un système non linéaire A la différence des systèmes linéaires qui possèdent un point d’équilibre unique, les systèmes non linéaires peuvent posséder plusieurs points d’équilibre. 1.3. Exemples : 1.3.1. Exemple 1 : Soit le système physique linéarisé suivant : ( ) ( ) ( ) 0 , 0 x x t x t x = − = & (1.1) 3 Figure 1.1. Point d’équilibre d’un système linéaire. Le système possède un point d’équilibre unique x=0. Dans le cas linéaire, le point d’équilibre est stable et les trajectoires d’état pour différentes conditions initiales, décroissent vers l’état d’équilibre. Le point d’équilibre 0 = x est stable localement puisque toute trajectoire issue d’une condition initiale suffisamment proche converge vers cet état d’équilibre. 1.3.2. Exemple 2 : Soit le système physique régi par l’équation différentielle suivante: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 2 x x t x t x t x = + − = & (1.2) Figure 1.2. Points d’équilibre d’un système non linéaire. 4 Le système possède deux points d’équilibre x=0 et x=1. Dans le cas non linéaire, les deux points d’équilibre sont de nature différente. Le point x=1 est instable constitue en quelque sorte une frontière de stabilité. L’axe est en effet divisé en deux régions de conditions initiales pour lesquelles les trajectoires sont convergentes vers l’état d’équilibre 0 ou sont divergentes. 1.4. Cycles limites : Un système linéaire invariant dans le temps, pour osciller, doit avoir une paire de pôles sur l’axe imaginaire. Cette condition est évidemment très fragile vis à vis de perturbations et/ou erreurs de modélisation pouvant affecter la valeur de ces pôles. De plus, l’amplitude de l’oscillation obtenue en théorie dépend uniquement de la condition initiale. Au contraire, les systèmes non linéaires peuvent être le siège d’oscillations, (cycles limites), caractérisées par leur amplitude et leur fréquence, indépendantes de la condition initiale 0 x , et sans excitation extérieure. Il est donc indispensable d’utiliser un système non linéaire si l’on souhaite réaliser en pratique une oscillation stable. Donc certains systèmes non linéaires présentent des oscillations d’amplitude et de période constante avec entrée nulle. Ces oscillations sont appelées cycles limites (auto oscillation). 1.4.1. Exemple : Soit le système suivant présenté par l’équation de Van Der Pol : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 1 2 2 > = + − + c t kx t x t x c t x m & & & (1.3) avec m, c et k sont des constantes liées au système physique. La courbe fermée dans figure suivante traduit un cycle limite, on retourne sur le même cycle, quelque soit la condition initiale choisie. Remarques : 1. L’amplitude des oscillations est indépendante des conditions initiales, ce qui n’est pas le cas des systèmes linéaires. 2. Les cycles limites dans les systèmes non linéaires sont relativement peu sensibles aux variations de paramètres. 5 Figure 1.3. Cycles limites d’un système de Van Der Pol. 1.5. Bifurcations : Des changements quantitatifs des paramètres peuvent entraîner des changements qualitatifs des propriétés du système, (nombre de points d’équilibre, stabilité des points d’équilibre). 1.5.1. Exemple : Soit le système présenté par l’équation non amortie de Duffing: ( ) ( ) ( ) 0 , 0 3 ≥ = + + α α t x t x t x & & (1.4) Ce système possède trois points d’équilibre sont: ( ), 0,0 x = ( ) α 0, x = et ( ) . α 0, x − = a. 6 b. Figure 1.4. Système de Duffing à bifurcations. Suivant α le nombre de points d’équilibre sera différent. Quand a varie, le nombre de points d’équilibre varie de 1 à 3. Ainsi à 0 = α est une valeur de bifurcation critique. On peut conclure que, quand les paramètres d’un système non linéaire sont modifiés, la stabilité des points d’équilibre est susceptible d’être changée, et le nombre de points d’équilibre peut évoluer. Les valeurs critiques des paramètres induisant ce genre de phénomène sont appelées valeur critique de bifurcation. 1.6. Chaos : Un système non linéaire peut avoir un comportement en uploads/Industriel/ cours-nechadi-emira-systemes-non-lineaires.pdf