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1 Partie 1 du cours Modélisation mathématique et analyse des systèmes à évèneme

1 Partie 1 du cours Modélisation mathématique et analyse des systèmes à évènement discrets SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 2 INTRODUCTION : La théorie des systèmes et de leur commande, l’Automatique, s’est intéressée dès ses origines à des systèmes physiques généralement décrits par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. L’avènement des ordinateurs conduit à décrire parfois l’évolution de ces systèmes par des équations dynamiques en temps discret, ce qui ne remet pas en cause la nature continue de cette évolution. Avec les progrès de la technologie, L’Homme s’est mis à concevoir des systèmes de plus en plus complexes et complètement artificiels, par exemple: Les réseaux de transport, Réseaux de communication et d’ordinateurs, Ateliers de production manufacturière, ………. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 3 Dans ces systèmes, l’essentiel de l’enchaînement dynamique des tâches provient de phénomènes, de synchronisation, d’exclusion mutuelle ou compétition dans l’utilisation de ressources communes, ce qui nécessite une politique d’arbitrage ou de priorité, questions généralement désignées sous le terme d’ORDONNANCEMENT. Ce type de dynamique échappe totalement à la modélisation par équations différentielles ou leurs équivalents en temps discret. Un système à événement discret (SED) est un système dynamique dont l’évolution est gouvernée par l’occurrence d’événements : opération effectuée par une machine, instruction traitée par un processeur, ……. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 4 HISTORIQUE : Les réseaux de Petri (RdP) sont un outil graphique et mathématique qui trouvent leur domaine d’application dans un grand nombre de secteurs où les notions d’événements et d’évolutions simultanées (parallèles) sont importantes. Cette théorie est encore jeune car elle est née de la thèse de Carl Adam Petri, intitulée « Communication avec des Automates » présentée en 1962 à l’université de Darmstadt. Parmi les champs d’application des RdP, on peut citer: L’évaluation des performances de systèmes discrets, Les protocoles de communication, La commande des ateliers de fabrication, La conception de logiciels temps-réel, Les systèmes d’information, Les interfaces Homme-Machine, SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Pour ce qui est de la conduite des ateliers de fabrication automatisés, l’application des RdP s’est effectuée d’abord en France sous la forme un peu altérée de la norme Grafcet pour la programmation des Automates Programmables Industriels. Cette norme a d’abord été imaginée par une commission de l’Afcet en 1977, puis elle est devenue une norme industrielle en France en 1980. MOTIVATIONS: modélisation Système Modèle RdP Propriétés de la modélisation 5 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 6 Le formalisme des RdP est un outil qui permet d’étudier les systèmes dynamiques et discrets. Il s’agit d’une représentation mathématique permettant la modélisation d’un système. L’analyse d’un RdP peut révéler des caractéristiques importantes du système concernant sa structure et son comportement (sa dynamique). Les résultats de cette analyse sont utilisés pour évaluer le système et en permettre la modification et/ou l’amélioration, le cas échéant. CARACTERISTIQUES PRINCIPALES DES RdP : Distribution des états et des changements d’états dans le réseau, Dépendance et indépendance d’ensembles d’événements représentées explicitement, Représentation à différents niveaux d’abstraction (détaillés comme abstraits) Vérification des propriétés possibles car basées sur un formalisme mathématique rigoureux SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 7 Modélisation simulable, Représentation graphique. CONCEPTS DE BASE : Evénement : les événements sont des actions se déroulant dans le système. Le déclenchement d’un événement dépend de l’état du système. Un état peut alors être décrit comme un ensemble de conditions. Condition : une condition est un prédicat ou une description logique d’un état du système. Une condition est vraie ou fausse. Déclenchement, préconditions/postconditions : les conditions nécessaires au déclenchement d’un événement sont les préconditions de l’événement. Lorsqu’un événement se produit, certaines de ses préconditions peuvent cesser d’être vraies alors que d’autres conditions, appelées postconditions de l’événement deviennent vraies. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 8 Exemple : Atelier de coupe Conditions : La machine de coupe est au repos, Une commande est en attente, La commande est en cours de traitement, La commande est terminée, Evénements : Une commande arrive, La machine débute la commande, La machine termine la commande, La commande est envoyée pour la livraison. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Modélisation d’un système événement/transition : Condition : modélisée à l’aide d’une place, Événement : modélisé à l’aide d’une transition. Précondition d’une transition Postcondition d’une transition p1 p2 t q2 9 q1 t SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS satisfaction d’une contrainte : modélisé à l’aide d’un jeton (marque). condition vraie Déclenchement d’une transition tirable (franchisssable) : condition fausse avant après 10 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Retour sur l’atelier de coupe : arrivée commande envoi commande atelier disponible début traitement fin traitement commande en attente commande en traitement commande terminée 11 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 12 Modélisation de systèmes avec ressources : Pour certains systèmes, il est plus juste de raisonner en termes de ressources au sens large, plutôt qu’en termes de conditions/événements : Les places peuvent alors contenir plusieurs jetons, Le nombre de jetons contenus dans une place reflète le nombre de ressources qu’elle possède, Les jetons d’une place n’ont pas d’identité individuelle Ces ressources sont consommées et produites par les événements du système. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Les structures de base : séquence : parallélisme (concurrence) synchronisation rendez-vous 13 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Les structures de base : partage de ressource capacité limitée t1 t2 t4 t3 arbitre t1 t2 p1 14 p2 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 15 Formalisme définitions : Un RdP est un quadruplet R = < P, T, Pre, Post > où : P est un ensemble fini de places, T est un ensemble fini de transitions, Pre : est l’application incidence avant (places précédentes), Post : est l’application incidence arrière (places suivantes), On utilise aussi la notation : C = Post – Pre, avec C la matrice d’incidence du RdP. PT  PT  SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 16 Formalisme définitions : Un RdP marqué est un couple N = < R, M > où : R est un RdP, M est le marquage initial du réseau, C’est une application M(p) représente alors le nombre de jetons contenus dans la place p. M :P  SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 17 Graphe associé et notations matricielles : A un RdP on peut associer un graphe qui possède deux types de nœuds: les places et les transitions. Un arc relie une place p à une transition t, si et seulement si Pre(p,t) ≠0. Un arc relie une transition t à une place p, si et seulement si Post(p,t) ≠0. Les valeurs non nulles des matrices Pre et Post sont associées aux arcs comme étiquettes (par défaut on prend la valeur 1). Le marquage M peut être représenté par un vecteur ayant pour dimension le nombre de places. Pre, Post et C seront alors des matrices dont le nombre de lignes est égal au nombre de places et le nombre de colonnes est égal au nombre de transitions. On note Pre(.,t), Post(.,t) et C(.,t) les colonnes des matrices correspondantes associées à une transition t. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Graphe associé et notations matricielles : 18 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS RdP pur : Un RdP est pur si et seulement si : p P et t T, Pre(p, t).Post(p,t) = 0 Le graphe ne comprend aucune boucle élémentaire, c’est-à-dire aucune transition ayant la même place en entrée et en sortie. Réseau non pur t1 t2 t4 p2 p1 p3 3 19 t3 3 t5 23 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Transition franchissable : Une transition t est franchissable si et seulement si : p P, M(p) Pre(p, t), On peut exprimer que t est franchissable par les notations suivantes: M Pr e(.,t), M t, M  t , t1 t2 t4 p2 p1 p3 3 t3 3 SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS Franchissement d’une transition : Si t est franchissable pour le marquage M, le franchissement (ou tir) de t conduit au nouveau marquage M’ tel que : p P, M’(p) = M(p) + Post(p, t) - Pre(p, t), On utilise aussi les notations suivantes: M’ = M + Post(., t) - Pre(., t), M t M ', M  tM', Par exemple, après le franchissement de t3, à partir du marquage initial, on obtient: uploads/Industriel/ cours-rdp.pdf