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Asservissement systèmes linéaires continus 1 / 38 ASSERVISSEMENT : SYSTEMES LIN

Asservissement systèmes linéaires continus 1 / 38 ASSERVISSEMENT : SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS -I- ELEMENTS FONDAMENTAUX ....................................................................................................................................................................... 1 -I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS ..................................................................................................................................................... 1 -I-2- LES SYSTEMES CONTINUS ........................................................................................................................................................................................ 3 -I-3- MODELISATION DES SYSTEMES.............................................................................................................................................................................. 4 -II- TRANSFORMATION DE LAPLACE ................................................................................................................................................................ 6 -II-1- GENERALITES ET DEFINITION ................................................................................................................................................................................ 6 -II-2- ELEMENTS SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE .............................................................................................................................................. 7 -II-2- LA TRANSFORMEE INVERSE ................................................................................................................................................................................. 10 -III- FONCTION DE TRANSFERT ET SCHEMA FONCTIONNEL .................................................................................................................... 11 -III-1- REPONSE D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................................................... 11 -III-2- FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................... 12 -III-3- SCHEMA FONCTIONNEL ....................................................................................................................................................................................... 14 -IV- ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU 1ER ET DU 2EME ORDRE .................................................................................................... 16 -IV-1- SYSTEME DU 1er ORDRE ....................................................................................................................................................................................... 16 -IV-2- SYSTEME DU 2ème ORDRE ..................................................................................................................................................................................... 18 -IV-3- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR DE SA REPONSE INDICIELLE ................................................................................................ 22 -IV-4- PRECISION ET RAPIDITE D'UN SYSTEME .......................................................................................................................................................... 23 -V- ANALYSE HARMONIQUE DES SYSTEMES DU 1ER ET DU 2EME ORDRE ............................................................................................. 25 -V-1- FONCTION DE TRANSFERT ISOCHRONE: ........................................................................................................................................................... 25 -V-2- REPONSE FREQUENTIELLE : ................................................................................................................................................................................. 26 -V-3- SYSTEME DU 1er ORDRE ......................................................................................................................................................................................... 27 -V-4- SYSTEME DU 2ème ORDRE DE CLASSE 0 ............................................................................................................................................................. 29 -V-5- SYSTEME COMPORTANT UN INTEGRATEUR .................................................................................................................................................... 36 -V-6- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR D’UNE REPONSE FREQUENTIELLE ...................................................................................... 36 -I- ELEMENTS FONDAMENTAUX -I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS -I-1-1- Introduction L'origine industrielle de l'automatique explique que ses domaines d'application soient historiquement mécaniques et électromécaniques. Cependant, l'ensemble des théories et des techniques de raisonnement développées en automatique en fait une science indépendante de tout domaine d'application. On fait appel à l'automatique chaque fois que se pose le problème de la commande d'un système pour lequel on cherche à atteindre de bonnes performances en termes de temps de réponse, de précision et de stabilité. Commande des systèmes automatiques: il existe trois grands types de commande: - systèmes combinatoires: la sortie dépend uniquement de l'état des paramètres d'entrée. Exemple: distributeur de boissons. - systèmes séquentiels: la sortie dépend non seulement de l'état des paramètres d'entrée mais aussi de l'état actuel de la sortie. Exemple: portail automatique - systèmes asservis: maintien d'un paramètre à une certaine valeur (régulation) ou suivi d'une loi d'évolution (mémorisée ou non). Exemples: pilote automatique. -I-1-2- Définitions : Un système asservi est un système qui: - traite des grandeurs continues sur sa partie opérative. - est commandé à partir de signaux continus (analogiques) ou numériques. - reçoit un retour de l'état des grandeurs de sortie, ⇒ Un système est asservi si la commande est en boucle fermée. La représentation symbolique est la suivante: ( appelé diagramme fonctionnel du système asservi ) Chaîne directe Chaîne de retour S(p) E(p) r(p) ε _ + La chaîne directe comporte généralement: - les organes de puissance (moteur ,charge , et alimentation par exemple) - les dispositifs de commande (électronique de contrôle d'une alimentation par exemple) Asservissement systèmes linéaires continus 2 / 38 La chaîne de retour renvoie vers l'entrée une image fidèle de la grandeur de sortie. Elle comporte un capteur qui transforme la grandeur de sortie en un signal susceptible d’être mesuré (capteur de position , dynamo tachymétrique,...) Le comparateur permet d'obtenir `ε ε ε ε` grandeur d'entrée de la chaîne directe à partir du signal d'entrée E et du signal de retour r par différence entre E et r . Cette opération provoque une réaction négative de la sortie sur l'entrée.(on peut néanmoins obtenir une réaction positive avec certains montages) -I-1-3- Intérêt des systèmes asservis Les actionneurs de la chaîne directe agissent sur la charge mais des perturbations extérieures peuvent apparaître : - la charge peut varier - la chaîne elle-même peut évoluer sous l'influence de facteurs extérieurs. Un système asservi doit pouvoir réagir à une perturbation de façon telle qu'une variation de la grandeur de sortie S soit contrôlée en permanence en mesurant l'entrée de la chaîne directe : ε ε ε ε = E - r Propriétés des systèmes étudiés dans ce cours : - système monovariable : il ne possède qu'une seule entrée et une seule sortie. - système déterministe : pour une évolution donnée de l'entrée x(t), il n'existe qu'une évolution possible de la sortie y(t). - système continu : la fonction F est une fonction continue du temps t. - système linéaire : pour toute entrée x1(t) et x2(t) ∀ ∈ℜ λ λ 1 2 , , F(λ1x1(t) + λ2x2(t)) = λ1F(x1(t)) + λ2F(x2(t)) - système causal : la valeur de sa sortie y(t0) à un instant t0 ne dépend pas des valeurs de son entrée x(t) pour t > t0. Ceci revient à dire que la valeur de la sortie ne peut dépendre des évolutions futures de l'entrée. Cette propriété est toujours vérifiée pour les systèmes physiques. - système stationnaire (ou système invariant) est tel que ses caractéristiques ne changent pas dans le temps (F est une fonction indépendante du temps). Ces propriétés nous permettent de préciser la classe des systèmes sur lesquels pourront être appliquées les méthodes que nous allons développer. Cependant, des systèmes ne vérifiant pas l'une ou l'autre de ces propriétés pourront tout de même être étudiés grâce à ces méthodes. -I-1-4- Classification des systèmes asservis On distingue 2 classes de systèmes: - les systèmes régulateurs: systèmes qui fonctionnent à entrée constante et maintiennent la sortie constante malgrès les perturbations. Exemples: régulation de température ,de débit , de vitesse,...la grandeur d'entrée est appelée consigne. les perturbations qui affectent le système sont considérées comme entrées principales. - les systèmes suiveurs: systèmes qui maintiennent l'égalité entre le signal d'entrée et le signal de sortie ils maintiennent une erreur nulle pour toutes variations du signal de consigne. Exemples: asservissement de position d'une antenne radar , asservissement de position et de vitesse d'une commande numérique. D'une façon générale , on distinguera les systèmes continus (linéaires ou non linéaires) et les systèmes échantillonnés ( ou discrétisés). Ce cours est limité à la résolution des systèmes continus linéaires. -I-1-5- Performance des systèmes: Les critères de performance d'un asservissement sont précision , rapidité , stabilité. O t e s Stabilité : un système est stable si pour une valeur d’entrée constante la sortie tend vers une constante. A gauche un système stable A droite un système instable O t e s Asservissement systèmes linéaires continus 3 / 38 O t e s Rapidité: un système a une rapidité satisfaisante s’il se stabilise à son niveau constant dans un temps jugé satisfaisant. A gauche un système rapide A droite un système lent O t e s perturbation t e s 0 Précision: un système est précis si la sortie suis l’entrée en toutes circonstance. A gauche perturbation A droite erreur de traînage t e s 0 -I-2- LES SYSTEMES CONTINUS -I-2-1- Définition: Un système est continu si E et S sont des grandeurs analogiques. (numériques pour les systèmes échantillonnés) Remarque: le développement des commandes par microprocesseurs fait que les systèmes échantillonnés ont tendance à devenir prépondérants. -I-2-2- Linéarité: Un système est linéaire si les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie s'expriment sous la forme d'équations différentielles linéaires à coefficients constants. Si la grandeur d'entrée est u = e et la grandeur de sortie est y = s , un système continu linéaire se traduit par: ∑ ∑ = = = m q q q n p p p u b y a 0 ) ( 0 ) ( où y(p)est la dérivée pième de y par rapport au temps. Un système est linéaire lorsque la caractéristique d'entrée-sortie en régime permanent est linéaire pour toute valeur de l'amplitude d'entrée : s = K e -I-2-3- Causes de non Linéarité: En réalité , aucune caractéristique n'est parfaitement linéaire. Citons simplement quelques causes de non linéarité: Courbure : e s Saturation : e s +s max -smax émergence à amplitude élevée de nouveaux phénomènes - subie (saturation d’un transistor , butée mécanique) - provoquée pour éviter la dégradation d’un composant Seuil : e s +emini -emini Hystérésis : e s +h/2 -h/2 - dû à des pertes de mouvement mécaniques ( jeux , fuites ) - provoquée pour éliminer des bruits de fond. Dû aux frottements internes ou aux phénomènes électromagnétiques Asservissement systèmes linéaires continus 4 / 38 -I-3- MODELISATION DES SYSTEMES L'approche d'un système qui consiste à l'isoler et à en identifier les entrées et sorties est typique de la démarche de l'automaticien. Son but est de déterminer le signal de commande optimal à appliquer au système qui permet d'atteindre les objectifs fixés pour la sortie. Pour cela, il est nécessaire de connaître le comportement du système. Plusieurs démarches sont possibles, l'automaticien peut détailler le comportement interne du système en traduisant, sous forme d'équations, les différents phénomènes physiques mis en jeu. II peut aussi soumettre le système à un signal d'entrée connu et analyser sa sortie. Quelle que soit la démarche utilisée, il obtiendra un modèle mathématique qui lui permettra de prévoir l'évolution du système soumis à une entrée quelconque. Cette phase de modélisation est souvent délicate à réaliser car le modèle doit être suffisamment précis pour refléter correctement le comportement du système mais il ne doit pas être trop complexe uploads/Industriel/ cours-systemes-lineaires-continus.pdf