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Décision et Prévision Statistiques Thierry Verdel (2007) Chapitre 2 La loi norm

Décision et Prévision Statistiques Thierry Verdel (2007) Chapitre 2 La loi normale L'objectif du chapitre est de présenter la loi normale qui est le modèle probabiliste le plus utilisé pour décrire de très nombreux phénomènes observés dans la pratique. Une grande attention devra être accordée aux concepts, essentiels en statistiques, d'espérance mathématique et de variance et aux opérations qui leurs sont attachées. 1. Variables aléatoires continues 1.1. Loi de probabilité Rappelons que si, à un ensemble de possibilités W, nous attachons un nombre X prenant les valeurs : x1, ... , xi, ... , xn, lorsque se produit l'un des événements : e1, ... , ei, ... , en, on dit que X est une variable aléatoire. Cette variable est définie lorsqu'on connait les probabilités : pHx1L, ... , pHxiL, ... , pHxnL correspondant aux valeurs possibles de X. Ces probabilités sont obligatoirement telles que : pHx1L + ... + pHxiL + ... + pHxnL = 1, et la correspondance 8xi, pHxiL< est appelée : loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire X. Si les valeurs possibles de X, sont réparties de façon continue sur un intervalle fini ou infini, X est une variable aléatoire continue. Une telle variable est définie si l'on connait la probabilité pour que X prenne une valeur dans tout intervalle @ x, x + h @. On se donne pour cela la fonction de répartition de X : PHxL = Prob 8X < x< qui permet de calculer, pour tout intervalle : Prob 8x § X < x + h< = PHx + hL - PHxL. Un cas particulier important, auquel nous nous attacherons exclusivement dans ce qui suit, est celui où la fonction de répartition est continue, et peut être mise sous la forme : PHxL = Ÿ-¶ x pHuL „u où pHxL s'appelle la densité de probabilité de X, appellation qui résulte du fait que : pHxL = limD xØ0 Prob 8x§X<x+D x< ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ D x La densité de probabilité pHxL ou la fonction de répartition PHxL définissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire continue X. Elles donnent lieu aux représentations graphiques suivantes : Chapitre 2 : La loi normale 21 (2.1) Il est important de bien noter que, conformément aux axiomes qui définissent les probabilités : Ÿ-¶ +¶ pHxL „ x = 1 et 0 § PHxL § 1 1.2. La loi uniforme La variable aléatoire U est distribuée uniformément sur l'intervalle @a, bD si sa densité de probabilité est constante sur cet intervalle : pHuL = 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b-a et si sa fonction de répartition a, par conséquent, l'équation suivante : PHuL = u-a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b-a (2.2) 1.3. La loi exponentielle Nous avons montré dans le chapitre précédent que, si la probabilité d'apparition d'un événement pendant un intervalle de temps D t était égale à l D t, la probabilité pour qu'il se produise k fois pendant un intervalle de temps t, était donnée par la loi de Poisson de paramètre l t : pkHtL = Hl tLk ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k! ‰-l t Si, maintenant, on considère les intervalles de temps T qui s'écoulent entre les évènements successifs d'un processus de Poisson, soit FHtL la fonction de répartition de T. On a : 22 Chapitre 2 : La loi normale FHtL = 1 - Prob 8T > t<. Or cette dernière probabilité est égale à la probabilité pour qu'il ne se produise aucun évènement jusqu'à l'instant t, c'est-à-dire p0HtL, et par conséquent : FHtL = 1 - ‰-l t. C'est la loi exponentielle qui peut constituer un modèle intéressant pour les durées de vie aléatoires de certains matériels (tubes électroniques) : à chaque instant t de la vie du matériel, la probabilité de défaillance pendant l'intervalle de temps D t qui suit, est indépendante de t et égale à l D t. 1.4. Loi de probabilité à deux dimensions Si, à un événement aléatoire, sont attachés deux nombres X et Y, ces deux nombres définissent un vecteur aléatoire à deux dimensions. La loi de probabilité d'un tel vecteur peut être définie par la fonction de répartition : PHx, yL = Prob 8X < x, Y < y<, où la virgule se lit " et ". Si cette fonction est dérivable en x et y, on peut définir la densité de probabilité pHx, yL qui est telle que : pHx, yL „ x „ y = Prob 8x § X < x + „ x, y § Y < y + „ y<. Géométriquement pHx, yL „ x „ y peut s'interpréter comme la probabilité pour que l'extrémité du vecteur aléatoire HX, YL se trouve dans une aire „s = „ x „ y autour du point Hx, yL. S'intéressant à la variable X, par exemple, indépendamment de la variable Y, on obtient la distribution marginale de X en calculant sa densité de probabilité p1HxL : p1HxL „ x = Prob 8x § X < x + „ x< = „ x Ÿ-¶ +¶ pHx, yL „ y. De même la distribution marginale de Y est définie par la densité de probabilité p2HxL : p2HyL „ y = Prob 8y § Y < y + „ y< = „ y Ÿ-¶ +¶ pHx, yL „ x. 1.5. Indépendance de deux variables aléatoires Par définition, deux variables aléatoires sont indépendantes si la probabilité pour que la valeur de l'une d'elle tombe dans un intervalle donné, ne dépend pas de la valeur prise par l'autre. La probabilité conditionnelle de X, par exemple, est donc indépendante de Y. Or elle s'écrit, avec les notations ci-dessus : Prob 8x § X < x + „ x ê y § Y < y + „ y< = pHx,yL „x „y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ p2HyL „y = pHx,yL „x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ p2HyL . Si les deux variables sont indépendantes, cette expression doit dépendre de x seulement et l'on doit donc pouvoir faire disparaître p2HyL par simplification. De la même façon, l'expression : Prob 8y § Y < y + „ y ê x § X < x + „ x< = pHx,yL „y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ p1HxL . doit dépendre de y seulement et l'on doit pouvoir la simplifier pour faire disparaître p1HyL. Il en résulte que pHx, yL doit être égal au produit des densités de probabilité marginales de X et de Y : Chapitre 2 : La loi normale 23 pHx, yL = p1HxL p2HyL. Cette condition est évidemment nécessaire et suffisante. Elle se généralise pour un nombre quelconque de variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble. 1.6. Fonctions de variables aléatoires Etant données une variable aléatoire X, définie par sa densité de probabilité pHxL, et une fonction f , la variable aléatoire f HXL, fonction de la variable aléatoire X, est définie de la façon suivante : f HXL prend la valeur f HxL, lorsque X prend la valeur x. On remarquera qu'une variable f HXL peut prendre la même valeur pour deux valeurs différentes xi et x j de X. La probabilité de la valeur f HxiL ou f Hx jL est alors égale à pHxiL + pHx jL. On peut aussi définir des fonctions de plusieurs variables aléatoires. La somme de deux variables aléatoires, notamment, se définit de la façon suivante : étant donné deux variables aléatoires X et Y, leur somme est la variable aléatoire HX + YL qui prend la valeur Hx + yL lorsque X prend la valeur x et Y prend la valeur y. Là encore, une même valeur de la somme peut être obtenue pour deux couples différents de valeurs de X et Y. Penser, par exemple à la variable : on jette deux dés et on en fait la somme. 2. Espérance mathématique 2.1. Espérance et moments d'une variable aléatoire Etant données une variable aléatoire X définie par sa densité de probabilité pHxL et une fonction f , on désigne par le terme d'espérance mathématique de la variable aléatoire f HXL, et on la note E@ f HXLD, l'expression : E@ f HXLD = Ÿ-¶ +¶ f HxL pHxL „ x C'est donc un opérateur qui transforme la variable aléatoire f HXL en un nombre. Appliqué à la variable X elle-même, l'opérateur donne sa moyenne m : m = EHXL = Ÿ-¶ +¶x pHxL „ x. Dans le cas d'une variable aléatoire discrète à valeurs positives ou nulles : x0, ... , xi, ... , xn, l'expression précédente devient : m = E@ f HXLD = ⁄i=0 n f HxiL pHxiL. et toutes les propriétés de l'opérateur E que nous démontrerons par la suite, pour une variable continue, s'étendent sans difficulté au cas d'une variable discrète. Lorsque f HXL est une puissance de X, l'expression EHX kL est appelée moment d'ordre k de la variable aléatoire X. La moyenne m = EHXL est ainsi le moment d'ordre 1 de la variable X. Elle s'interprète comme l'abcisse du centre de gravité de la distribution de probabilité et c'est, à ce titre, une caractéristique de tendance centrale de la distribution : les valeurs d'une variable uploads/Industriel/ decision-et-prevision-stats2.pdf