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Université Mohammed V Année 2020-2021 Faculté des Sciences Filière SMI Départem

Université Mohammed V Année 2020-2021 Faculté des Sciences Filière SMI Département de Mathématiques Module 18 Rabat. Statistique & Probabilité Série Probabilité EX 1 : Déterminer l’ensemble Ωpour les expériences suivantes : a) Prélever une pièce fabriquée dans un lot et observer si elle est bonne ou défectueuse. b) Chronométrer une opération manuelle en notant le temps requis pour la réaliser. c) Vériﬁer le taux de comptage d’un sol à l’aide de la densité maximale en pourcentage. d) Vériﬁer l’aﬄuence à une station de péage d’une autoroute en notant le nombre de voitures arrivant par intervalles de 5 minutes. EX 2 : Une enquête eﬀectuée auprès de 400 étudiants portant sur la lecture de deux publications hebdoma- daires, “ Le Journal ” et “ Al Ayam ” a donné les résultats suivants : 165 lisent “ Le Journal ”, 240 lisent “ Al Ayam ” et 90 lisent les deux. a) Si un de ces étudiants est choisi au hasard, Quelle est la probabilité qu’il lise l’un ou l’autre de ces deux hebdomadaires ? b) Quelle est la probabilité qu’il lise uniquement “ Al Ayam ” ? c) Donner en notation ensembliste “ Ne lire ni Le Journal ni Al Ayam ” et calculer la probabilité de cet événement. EX 3 : On permute au hasard les 20 tomes d’une encyclopédie. Soit Ωl’ensemble de toutes les permutations. a) Déterminer le cardinal de Ω. b) Calculer la probabilité que les tomes 1 et 2 se retrouvent côte à côte dans cet ordre. EX 4 : Un étudiant s’habille très vite le matin et prend au hasard un pantalon, un tee-shirt et une paire de chaussettes. Il y a ce jour-là dans l’armoire 5 pantalons dont 2 noirs, 6 tee-shirt dont 4 noirs, 8 paires de chaussettes, dont 5 paires noires a) Combien y-a-t-il de façons de s’habiller ? b) Quelles sont les probabilités des événements suivants : α) Il est tout en noir. β) Une seule pièce est noire sur les trois. EX 5 : Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher, trois boules rouges portent les numéros 1, 1, 2 et une verte porte le numéro 2. On tire successivement deux boules de l’urne. On considère les événements, A : événement “ Les boules tirées sont de même couleurs ” B : événement “ Le produit des nombres portés par les deux boules tirées est pair” 1) On suppose que le tirage des deux boules se fait avec remise. a) Déterminer le cardinal de Ω. b) Calculer la probabilité des événements A et B. c) Sachant que les deux boules tirées sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour qu’elles portent des nombres ayant un produit pair. 2) Même question que 1) en supposant que le tirage des deux boules se fait sans remise. EX 6 : Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges. On tire simultanément trois boules. Calculer la probabilité d’obtenir : α) une boule blanche et 2 boules noires. β) une boule blanche et une boule noire et une boule rouge. EX 7 : Dans un jeu de 52 cartes mélangées, une main est formée de 5 cartes au hasard. a) Combien de main de 5 cartes peut-on former ?. b) Calculer la probabilité que la main contienne : α) Exactement 3 cartes de la même couleur. 1 β) Exactement 4 cartes du même genre. γ) deux genres apparaissent exactement deux fois. EX 8 : Dans une usine les ouvriers forment trois groupes de relais. Le groupe G1 travaille de 8h à 16h, le groupe G2 travaille de 16h à 24h et le groupe G3 travaille de 00h à 8h. Chaque jour il y a 1% des articles produit par G1, 2% des articles produit par G2 et 5% des articles produit par G3 qui sont défectueux. Supposons que tous les groupes produisent le même nombre d’articles. a) Déterminer la probabilité qu’un article pris au hasard soit produit par le groupe Gi. b) Calculer la probabilité qu’un article pris au hasard soit défectueux. c) Un article est défectueux. Calculer la probabilité qu’il soit produit par G3. EX 9 : Dans une population dont le tiers sont des tricheurs. on fait tirer une carte de jeu de 52 cartes à un individu et on admet que si cet individu est un tricheur, il est sûr de retourner un as. a) Déterminer la probabilité qu’un individu choisi au hasard soit un tricheur. b) Calculer la probabilité qu’un individu choisi au hasard retourne un as. c) Calculer la probabilité que l’individu choisi soit un tricheur sachant qu’il a retourné un as. EX 10 : Pour détecter une certaine maladie, les médecins font faire un test au patient. Si ce dernier est malade, le test donne un résultat positif dans 99% des cas. Cependant, il arrive qu’un patient bien portant obtienne un résultat positif dans 2% des cas. Les résultats montrent qu’un patient sur mille souﬀre de cette maladie. a) Déterminer la probabilité qu’un patient soit malade. b) Calculer la probabilité pour qu’un patient, ayant obtenu un résultat de test positif soit malade. EX 11 : Ali, Aicha et Jawad ont tous les trois la clé du local de leur club. La probabilité, qu’ Aicha arrive au local avant 19 heures est 0.6 et la probabilité que Jawad y arrive avant 19 heures est 0.85. Ali arrive à 19 heures. Il voit de loin que la lumière est allumée, il en déduit qu’au moins un de ses camarades est déja là. a) Quelle est la probabilité qu’Aicha et Jawad soient là tous les deux ? b) Quelle est la probabilité que l’un des deux, soient là ? (Pas tous les deux) EX 12 : La boule d’un billard électrique arrivant en A peut emprunter six trajectoires. Une de ces trajectoires la mène à un emplacement B, deux la mènent à un emplacement C et les trois autres à un emplacement D. Si la boule arrive en B le joueur gagne 3 points, si elle arrive en C il gagne 1 points et si elle arrive en D il perd 1 points. Soit X la v.a gain ou perte du joueur au cours d’une partie et soit Y la v.a gain ou perte du joueur au cours de deux parties. Les six trajectoires sont équiprobables. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Déterminer la fonction de répartition de X et tracer son graphe. c) Déterminer la loi de probabilité de Y . d) Calculer la probabilité de (X = 1) sachant (Y = 2). EX 13 : Soient X et Y deux v.a telles que Y = X2 et que la loi de X est donnée par le tableau : xi −2 −1 0 1 2 pi 1/6 1/4 1/6 1/4 1/6 a) Déterminer la loi de Y . b) Déterminer la loi conjointe de X et Y et la loi marginale de Y . c) Les v.a X et Y sont-elles indépendantes ? EX 14 : Une urne A contient quatre jetons numérotés 1, 2, 3 et 3 ; et une urne B contient cinq jetons numérotés 1, 1, 2, 2 et 3. On tire deux jetons, l’un de l’urne A et l’autre de l’urne B. On appelle X la v.a le nombre porté par le jeton tiré dans l’urne A et Y la v.a le nombre porté par le jeton tiré dans l’urne B. (les tirages sont équiprobables) a) Donner la loi de probabilité du couple (X, Y ) et de la v.a Z = X + Y . b) Calculer la probabilité de (X = 3) sachant (Z = 4). c) Les v.a X et Z sont-elles indépendantes ? 2 EX 15 : Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type des v.a : X de l’exercice 12, Y de l’exercice 13 et Z de l’exercice 14. EX 16 : On pose 20 questions à un candidat. Pour chaque question, 6 réponses sont proposées dont une seule est la bonne. Le candidat choisit au hasard une des réponses proposées. On lui attribue 1 point par bonne réponse. Soit X la v.a le nombre de points obtenus. a) Déterminer la loi de probabilité de X et la probabilité d’obtenir 5 réponses justes. b) Déterminer le nombre moyen de points obtenus. c) Quelle est la probabilité que la réponse à la 5eme question soit la première réponse juste ? Ex 17 : Soient X une v.a qui suit la loi binomiale de paramètre (6, 0.1) et Y la v.a déﬁnit par : Y = ( 0 si X est impaire 1 si X est paire Donner la loi, l’espérance mathématique et la variance de Y . Ex 18 : On considère une entreprise de construction produisant des objets sur deux chaines de montage A et B qui fonctionnent indépendamment l’une de l’autre. Pour une chaine donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes. On suppose que A produit 60% des objets et B produit 40% des objets. La probabilité qu’un objet construit par uploads/Industriel/ serie-probabilite.pdf