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A. BENALIA Page 1 Régulation Continue des Processus Industriels Master Automati

A. BENALIA Page 1 Régulation Continue des Processus Industriels Master Automatique M1 Devoir Dimanche 15/01/2012 Université Amar Télidji Laghouat Exercice 1 1- Pour le système ci-dessous, calculer la réponse temporelle lorsque est un échelon unité. Que vaut . 2- Soit le système suivant : - Tracer le diagramme de Bode, - Tracer le diagramme de Nyquist, - Calculer les marges de gain et de phase du système possédant G(p) comme fonction de transfert en boucle ouverte. 3- Soit le système ; K>0 a>0 FBO(p) est la fonction de transfert en boucle ouverte d’une boucle de régulation - En utilisant l critère de ROUTH, déterminé pour quelles valeurs de K la boucle fermée est stable, - Même question lorsque a=0. Vos commentaires sur l’effet des zéros de la boucle ouverte. Exercice 2 : a- Soit le schéma bloc suivant : Avec et avec K>0 1- Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée. 2- Montrer que le système en boucle fermée est instable quelque soit K>0 3- Donner un exemple d’un signal de référence yref borné donnant un signal de sortie non borné y(t) 4- Calculer la réponse indicielle de la boucle fermée. - + ε(p) yref(p) y(p) u(p) R(p) F(p) A. BENALIA Page 2 5- Calculer les fonctions de transfert et b- On considère la boucle de régulation ci-dessus avec cette fois et - Etudier la stabilité du système en utilisant le critère de Nyquist. Exercice 3 : Soit le schéma de régulation suivant : Avec On considère un régulateur proportionnel avec 1- Calculer la fonction de transfert en boucle fermée . 2- Supposons que est un signal échelon unité. Que vaut dans ce cas l’erreur en régime permanant [ ] en fonction de Kp. 3- Calculer la marge de phase pour kp=1. 4- Peut-on améliorer la stabilité et la précision en utilisant uniquement l’action proportionnelle Kp. Afin d’améliorer la stabilité sans détériorer la précision, on choisit 5- Tracer le diagramme de Bode de ce régulateur 6- On souhaite avoir une marge de phase de 45°. Déterminer dans ces conditions, les paramètres et . - + ε(p) yref(p) y(p) u(p) R(p) F(p) A. BENALIA Page 3 Régulation Continue des Processus Industriels Master Automatique M1 Correction du devoir Université Amar Télidji Laghouat 1- BENALIA Exercice1 1- La réponse indicielle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Donc (√ ) √ (√ ) 2- Nous avons don                       5 2 90 ) ( arg 1 25 1 4 1 ) ( 2 2 arctg arctg j G j G                     270 ) ( arg lim , 90 ) ( arg lim ) ( lim , ) ( lim 0 0         j G j G j G j G db db L’asymptote a est Diagramme de BODE Diagramme de NYQUIST -150 -100 -50 0 50 100 Magnitude (dB) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 -270 -225 -180 -135 -90 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) A. BENALIA Page 4 Les marges de gains et de phase Il est évident que la marge de gain La marge de phase | | √ √ ; on trouve Donc ( ) 3- ; K>0 a>0 La fonction de transfert en boucle fermée est Le tableau de ROUTH P2 1 1-Ka P1 1+K 0 P0 1-Ka 0 Stabilité si Si a=0 alors . Les zéros instable diminuent le domaine de stabilité pour un régulateur proportionnel. Exercice2 et avec K>0 1- La fonction de transfert en boucle fermée 2- Comme les pôles en boucle fermée sont a partie réelle nulle, la boucle fermée est instable 3- Le signal de référence √ donne un signal non borné parce que | ( √ )| -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis A. BENALIA Page 5 4- La réponse indicielle de la boucle fermée Donc √ 5- c- Etude de la stabilité par le critère de Nyquist. Pour répondre à cette question, nous allons tracer le lieu de Nyquist de et le comparer par rapport à . Nous avons don                         arctg arctg j G j G 2 90 ) ( arg 4 1 ) ( 2 2 L’image du petit cercle qui entoure l’origine [ ] On trouve [ ] Comme le point -1 n’est pas entouré et la boucle fermée ne possède pas de pôles à partie réelle strictement négative, on conclut que la boucle fermée est stable. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis A. BENALIA Page 6 Exercice3 Avec 1- La fonction de transfert en boucle fermée 2- Nous avons ; Donc pour un signal de référence en échelon [ ] 3- Calcul de la marge de phase : | | √ √ ; on trouve Donc ( ) 4- Non on ne peut pas améliorer la stabilité et la précision en utilisant uniquement l’action proportionnelle. 5- Le diagramme de Bode d’un régulateur à avance de phase est donné en cours. 6- La forme de ce régulateur est 1 , p 1 p 1 (p)        R On veut avoir une marge de phase de 45° La marge de phase maximale max  apportée par ce régulateur doit être         83 . 37 5 17 . 12 45 max Ainsi on obtient pour , la valeur : la nouvelle fréquence de coupure sont déterminés à partir du système d’équations suivant            0 2 0 2 0 1 1 4 1 16 100       On trouve : - + ε(p) yref(p) y(p) u(p) R(p) F(p) 2397 . 0 ) sin( 1 ) sin( 1 max max        A. BENALIA Page 7      sec 4055 . 0 sec / 0374 . 5 0   rad Finalement le régulateur est donné par : p 0972 . 0 1 p 4055 . 0 1 (p)    R uploads/Industriel/ devoir-reg-2012.pdf