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re STI2D STL Agnès Excellent-Savart Mathieu Hibou Cécile Redon Éric Sorosina Jean-François Liébaut Frédéric Xerri L i v r e d u p r o f e s s e u r Réalisation : PAON www.hachette-education.com © HACHETTE LIVRE 2011, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15 ISBN : 978-2-01-180856-1 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Sur le site hachette-education.com, les fichiers signalés par sont disponibles en téléchargement pour les enseignants. En complément S o m m a i r e Second degré 1 Trigonométrie 2 Fonctions de référence 3 Fonction dérivée 4 5 18 30 49 Applications de la dérivation 5 Suites 6 Statistiques et probabilités 7 Produit scalaire 8 61 76 90 103 Nombres complexes 9 113 5 Chapitre 1 : Second degré Second degré 1 C H A P I T R E Trajectoire d’une fusée expérimentale O b j e c t i f : montrer l’utilité de résoudre une équation ou une inéquation du second degré à travers la modélisation d’une situation concrète. Dans les parties et , on retrouve quelques équations dont la résolution est étudiée en Seconde, et on répond ainsi à quelques questions concernant la trajectoire de la fusée. Dans la partie , on constate que la réponse à d’autres questions sur cette trajectoire passe par la résolution d’équations ou d’inéqua- tions pour lesquelles une factorisation n’est pas immédiate. On introduit ainsi la question de la résolution de toutes les équations de degré 2. –0,005x2 + 4x = x(–0,005x + 4) –0,005x2 + 4x = 0 ¤ x(–0,005x + 4) = 0 ¤ x = 0 ou –0,005x + 4 = 0 ¤ x = 0 ou x = 800. Les solutions sont 0 et 800. La fusée retombe sur le sol à 800 mètres de son point de décollage. x2 – 800x + 160000 = x2 – 2 ¥ x ¥ 400 + 4002 = (x – 400)2. –0,005x2 + 4x = 800 ¤ –0,005x2 + 4x – 800 = 0 ¤ –0,005(x2 – 800x + 160000) = 0 ¤ x2 – 800x + 160000 = 0 ¤ (x – 400)2 = 0 ¤ x = 400. La fusée se trouve à 400 mètres de son point de départ quand elle est à la hauteur de 800 m. Résoudre l’équation –0,005x2 + 4x = 900. Résoudre l’inéquation –0,005x2 + 4x > 1000. Une méthode de résolution d’équations de degré 2 datant du IXe siècle O b j e c t i f : mettre en œuvre un algorithme de résolution d’équations de degré 2 et vérifier sa pertinence. Dans la partie , on étudie un algorithme de résolution des équations du second degré dans une traduc- tion du texte d’Al-Khwarizmi. On utilise cet algorithme pour trouver une solution d’une équation dans la partie , puis, en utilisant les connaissances de Seconde sur la parabole, on constate que l’algorithme proposé ne permet pas d’obtenir toutes les solutions. C’est l’occasion de refaire le lien, déjà vu en Seconde, et qui sera repris dans le cours, entre la résolution des équations et la représentation graphique. B A c t i v i t é 1 A C 1 A 2 3 1 B 2 3 1 C 2 A c t i v i t é 2 A B Activités 6 Chapitre 1 : Second degré Dans la partie , on exploite le fait que la méthode d’Al-Khwarizmi soit algorithmique. C’est l’occasion d’insister auprès des élèves sur le fait que la pensée algorithmique est très ancienne, qu’elle n’est pas une conséquence de l’invention de l’informatique comme ils pourraient le croire. Ici, on programme cet algorithme, on peut alors le tester sur un grand nombre d’exemples et ouvrir le débat sur le nombre de solutions d’une équation du second degré. 32 + 10 ¥ 3 = 9 + 30 = 39 donc 3 est solution de l’équation x2 + 10x = 39. Ici, le « nombre des racines » est 8. = 4 ; 42 = 16 ; 16 + 20 = 36 ; ÷ÿ36 = 6 ; 6 – = 2 soit x = 2. 22 + 8 ¥ 2 = 4 + 16 = 20 donc 2 est solution de l’équation x2 + 8x = 20. D’après le cours vu en Seconde, le sommet de la parabole d’équation y = ax2 + bx + c a pour abscisse x = – et si a > 0, la fonction associée est décroissante puis croissante. Remarque : on peut rappeler aux élèves les propriétés de symétrie de la parabole, et ainsi les inciter à choisir la fenêtre graphique, centrée en –4, dans laquelle le point d’abscisse 2 et son symétrique par rap- port à –4, c'est-à-dire le point d’abscisse –10, sont visibles… ou laisser « tâtonner » les élèves, pour qu’ils rendent apparente la deuxième solution, puis leur faire évoquer les propriétés de symétrie. Il semble que l’équation f (x) = 0 ait deux solutions. La méthode d’Al-Khwarizmi ne donne qu’une des solutions de l’équation x2 + 8x = 20 soit f (x) = 0. Demander m et p Æ x Afficher x Programme Algobox : ch1_act2.alg On trouve x = 2. La méthode d’Al-Khwarizmi ne permet pas de trouver la deuxième solution de l’équation. Remarque : on peut faire observer aux élèves que cette méthode ne s’applique pas à toutes les équations du second degré : on n’a ici que des équations de la forme x2 + mx – p = 0, où m et p sont deux nombres positifs. On peut alors élargir le débat : toutes les équations du second degré ont-elles deux solutions, A B 1 8 2 8 2 2 3 b 2a x f + D – 36 – 4 – D 4 5 C 1 2 3 4 + p – m 2 m 2 2 5 Équation x2 + 2x = 15 Solution obtenue avec la méthode d’Al-Khwarizmi Solution(s) obtenue(s) avec un logiciel de calcul formel 3 3 et –5 x2 + 3x = 10 2 2 et –5 x2 + 4x = 21 3 3 et –7 C 7 Chapitre 1 : Second degré dont une positive? Les représentations graphiques étudiées en Seconde permettent d’avoir une première réponse à cette question. Allers et retours O b j e c t i f : faire le lien entre les résultats algébriques sur le second degré et la représentation graphique des fonctions polynômes de degré 2. Dans la partie , on résout un certain nombre d’équations et d’inéquations, en interprétant graphique- ment les résultats. Dans la partie , on construit deux familles de paraboles (chacune ayant un coefficient que l’on peut modifier) et on observe l’effet sur la représentation, et sur les solutions d’équations ou d’inéquations, du changement de l’un de ces coefficients. a. f (0) = –7. La parabole è passe donc par le point de coordonnées (0; –7). b. f (÷ÿ7) = 6÷ÿ7. La parabole è passe donc par le point de coordonnées (÷ÿ7; 6÷ÿ7). a. D = 64. D > 0 donc l’équation admet deux solutions : x1 = –7 et x2 = 1. La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points, les points d’abscisses –7 et 1. La parabole è passe donc par les points de coordonnées (–7; 0) et (1; 0). b. x2 + 6x – 7 = –19 ¤ x2 + 6x + 12 = 0. D = –12 ; D < 0 donc l’équation n’a pas de solution réelle. La parabole è ne coupe donc pas la droite d’équation y = –19. La parabole è se trouve au-dessus de l’axe des abscisses lorsque x est dans ]–•; –7[ » ]1; +•[, elle se trouve en dessous de l’axe des abscisses lorsque x est dans ]–7; 1[ et elle coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses –7 et 1. (x + 3)2 – 16 = x2 + 6x + 9 – 16 = x2 + 6x – 7 = f (x). Le sommet de la parabole è a donc pour coordonnées (–3; –16). a. b. ch1_tp1.ggb. Graphiquement, il semble que c = 9. On vérifie que le discriminant de l’équation x2 + 6x + 9 = 0 est nul. c. En choisissant c > 9, on uploads/Industriel/ mathematiques-1res-sti2dstl.pdf