9 Croissance comparée des fonctions réelles x 7→ex, x 7→xn et x 7→ln x 51 Leçon

9 Croissance comparée des fonctions réelles x 7→ex, x 7→xn et x 7→ln x 51 Leçon n° Niveau Terminale S Prérequis fonctions exponentielles et logarithmes, théorème des gendarmes. Références [149], [150] 51.1 Introduction 51.1.1 Rappel sur les formes indéterminées Propriété 51.1 Les formes indéterminées sont de quatre types : 1. du type ∞−∞ 2. du type 0 × ∞ 3. du type ∞ ∞ 4. du type 0 0 51.1.2 Croissance comparée, à quoi ça sert ? Les croissances comparées permettent de lever ce genre d’indétermination. Elles interviennent quand on calcule une limite : — d’un rapport ou un produit d’une fonction puissance et un logarithme ; — d’un rapport ou un produit d’une fonction puissance et une exponentielle. On établit donc un « rapport de force » entre ces classes de fonctions. On va dire qu’une classe de fonction tend plus au moins rapidement vers l’infini qu’une autre classe de fonction. Du plus fort au plus faible, on a : — exponentielles ; — puissances ; — logarithmes. Cela se voit encore mieux sur un graphique (voir la figure 51.1). 51.2 Croissance comparée des fonctions puissances et logarithmes Théorème 51.2 1. lim x→+∞ ln x x = 0. 2. lim x→+∞ ln x xn = 0, (pour tout n ∈N∗). 3. lim x→0+ x ln x = 0 10 Leçon n°51 • Croissance comparée des fonctions réelles x 7→ex, x 7→xn et x 7→ln x O FIGURE 51.1 – Croissances comparées 4. lim x→0+ xn ln x = 0, (pour tout n ∈N∗). Dv • Démonstration du théorème 51.2 — On peut écrire, pour tout x > 0 : ln √x < √x : 1 2 ln x < √x et pour x > 1, on a : 0 < ln x < 2√x ⇔0 < ln x x < 2 √x. Comme limx→+∞ 2 √x = 0, on a, d’après le théorème des gendarmes : lim x→+∞ ln x x = 0. On en déduit, comme simple conséquence que pour n ≥2 : lim x→+∞ ln x xn = lim x→+∞ 1 xn−1 ln x x = 0 car limx→+∞ 1 xn−1 = 0 et limx→+∞ln x x = 0. On établit maintenant la limite suivante à l’aide du changement de variable du type X = 1 x : lim x→0+ x ln x = lim X→+∞ 1 X ln  1 X  = lim X→+∞  −ln X X  = 0 51.2 Croissance comparée des fonctions puissances et logarithmes 11 d’après ce qui précède. On en déduit, comme simple conséquence que pour n ≥2 : lim x→0+ xn ln x = lim x→0+ xn−1x ln x = 0 car limx→0+ xn−1 = 0 et limx→0+ x ln x = 0. Enfin, pour la dernière limite, on reconnaît l’accroissement moyen de la fonction ln en x0 = 1 La limite est donc égale au nombre dérivé de la fonction ln en x0 soit 1 x0 : lim x→1 ln x x −1 = lim x→1 ln x −ln 1 x −1 = ln′(1) = 1 1 = 1. • Corollaire 51.3 Pour toute fonction polynôme P de degré supérieur ou égal à 1, on a : lim x→+∞ ln x P(x) = 0. Dv • Démonstration du corollaire 51.3 — Soit n ∈N∗le degré de P. Notons P(x) = Pn p=0 apxp (avec an ̸= 0). Comme la limite en +∞d’une fonction polynôme P est égale à la limite de son terme de plus haut degré, nous avons lim x→+∞ ln x P(x) = lim x→+∞ ln x anxn = 0 puisque limx→+∞ln x xn = 0. • ■Exemples 51.4 1. On veut étudier la limite suivante : lim x→+∞ ln(x + 1) x . On a : ln(x + 1) x = ln(x + 1) x + 1 × x + 1 x . Or, limx→+∞x+1 x = 1 et lim x→+∞ ln(x + 1) x + 1 = lim X→+∞ ln X X = 0 D’où par produit, lim x→+∞ ln(x + 1) x = 0. 2. On veut étudier la limite suivante : lim x→+∞ ln x √x . En remarquant que x = (√x)2, nous avons : ln x √x = 2 ln √x x . 12 Leçon n°51 • Croissance comparée des fonctions réelles x 7→ex, x 7→xn et x 7→ln x En posant X = √x (X →+∞), nous obtenons : lim x→+∞ ln x √x = lim x→+∞ 2 ln √x √x = lim X→+∞2ln X X = 0. Par un raisonnement analogue, on peut montrer que : lim x→0+ √x ln x = 0. ■ 51.3 Croissance comparée des fonctions puissances et exponentielles Propriété 51.5 — Limites fondamentales. 1. limx→+∞ex x = +∞, 2. limx→−∞xex = 0. Dv • Démonstration de la propriété 51.5 — On a vu que, pour tout x, ex ≥x. Donc, pour tout x, ex/2 ≥x 2 et, pour tout x ≥0, (ex/2)2 ≥ x 2 2 , soit ex ≥ x2 4 . Or, limx→+∞x2 4 = +∞. D’après un des « théorèmes des gendarmes », on obtient lim x→+∞ ex x = +∞. On a xex = x e−x . En posant X = −x, on a xex = −X eX . Or lim X→+∞ eX X = +∞ donc lim X→+∞ X eX = 0 et, par suite, limx→−∞xex = 0. • Conséquence 51.6 Pour tout nombre entier n strictement positif : 1. limx→+∞ex xn = +∞. 2. limx→−∞xnex = 0. Dv • Démonstration de la conséquence 51.6 — 1. Comme ex > 0 : ex xn = ex/n x n 51.4 D’autres exemples 13 soit ex xn = ex/n nx n n . Or limx→+∞eX X = +∞donc lim x→+∞ ex/n x/n = +∞. En composant avec la fonction puissance, on obtient : lim x→+∞ ex/n n x n n = +∞ d’où lim x→+∞ ex xn = +∞. 2. On pose x = −X, xnex = (−X)ne−X, soit xnex = (−1)n Xn ex . Donc : lim x→−∞xnex = lim X→+∞(−1)n Xn eX . On vient de montrer que limx→+∞ex xn = +∞, donc lim X→+∞(−1)n Xn eX = 0. D’où : limx→−∞xnex = 0. • ■Exemples 51.7 1. Soit f : x 7→ex x10 , lim x→+∞f(x) = +∞. 2. Soit g : x 7→x1000ex, lim x→−∞g(x) = 0. ■ R 51.8 Pour les limites en +∞et et en −∞, on retiendra que « exp l’emporte sur x ». 51.4 D’autres exemples ■Exemples 51.9 1. Soit à calculer lim x→+∞ex + x2 + 1. Ici, nous n’avons pas besoin des croissances comparées pour déterminer la limite car : lim x→+∞ex = +∞ et lim x→+∞x2 = +∞ et donc lim x→+∞ex + x2 + 1 = +∞. 14 Leçon n°51 • Croissance comparée des fonctions réelles x 7→ex, x 7→xn et x 7→ln x 2. Soit à calculer lim x→+∞ex −x2. Ici, on tombe sur une forme indéterminée du type ∞−∞. On remarque alors que : ex −x2 = ex 1 −x2 ex ! Or, par croissances comparées, limx→+∞x2 ex = 0, ainsi lim x→+∞ex −x2 = +∞. 3. Soit à calculer lim x→+∞ln(x) −x2 + 2x + 1. Ici, on tombe sur une forme indéterminée du type ∞−∞. On remarque alors que : ln(x) −x2 + 2x + 1 = x2 ln(x) x2 −1 + 2 x + 1 x2  . Or, par croissances comparées, limx→+∞ ln(x) x2 = 0 donc lim x→+∞ln(x) −x2 + 2x + 1 = −∞. 4. Soit à calculer lim x→0− 1 x2 e1/x. On rencontre donc une forme indéterminée du type +∞× 0. On pose u = 1 x, on a donc 1 x2 e1/x = u2eu. On a lim x→0− 1 x = −∞ et, par croissances comparées, limu→−∞u2eu = 0. Donc, par composition : lim x→0− 1 x2 e1/x = 0. ■ 51.5 Applications 51.5.1 Branches infinies des courbes des fonctions ln et exp Propriété 51.10 Dans le plan muni d’un repère (O, # » ı , # » ), les courbes représentatives des fonctions ln et exp admettent des branches paraboliques de directions respectives (O, # » ı ) et (O, # » ). 51.5 Applications 15 Dv • Démonstration de la propriété 51.10 — En effet, lim x→+∞ ln x x = 0 et lim x→+∞ ex x = +∞. • 51.5.2 Détermination de limites ■Exemples 51.11 1. Soit à calculer lim x→0+ xx. Comme x > 0, on peut écrire : xx = ex ln x Or, par croissances comparées : lim x→0+ x ln x = 0. Donc, par composition lim x→0+ xx = 1. 2. Soit à calculer lim x→+∞(ln x)(ln x)−α, avec α > 0. On a tout d’abord : ln(x)−α = e−α ln(ln(x)) et ainsi : (ln(x))(ln x)−α = ee−α ln(ln(x)) ln(ln(x)) Or, pour α > 0, lim x→+∞−α ln ln(x) = −∞ et lim x→+∞ln(ln(x)) = +∞ mais par croissances comparées, « l’exponentielle l’emporte sur le logarithme » donc : lim x→+∞e−α ln(ln(x)) ln(ln(x)) = 0 et par composition lim uploads/Industriel/ ltz-yd-lmk-rn-pdf.pdf

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