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FIABILIT´ E I- INTRODUCTION La th´ eorie de la ﬁabilit´ e a pour objectif d’´ e

FIABILIT´ E I- INTRODUCTION La th´ eorie de la ﬁabilit´ e a pour objectif d’´ etudier l’aptitude de dispositifs techniques (machines, ´ equipements,...), ` a accomplir une fonction requise, dans des conditions donn´ ees, durant un temps donn´ e. Actuellement, c’est une discipline ` a part enti` ere. Pr´ evoir la ﬁa- bilit´ e d’un syst` eme est essentielle pour des probl` emes de s´ ecurit´ e (syst` emes de freinage, syst` emes nucl´ eaires, syst` emes informatiques...). La quasi-impossibilit´ e de r´ eparer cer- tains mat´ eriels (satellites), les probl` emes ´ economiques (coˆ uts des d´ efaillances, gestion du personnel de maintenance, maintenance des stocks des pi` eces de rechange...) rendent n´ ecessaire la connaissance de la ﬁabilit´ e des syst` emes utilis´ es. Les d´ efaillances se produisant g´ en´ eralement de fa¸ con al´ eatoire, il est logique de faire appel au calcul des probabilit´ es pour ´ etudier des probl` emes de ﬁabilit´ e. Ainsi, nous d´ eﬁnissons la ﬁabilit´ e d’un dispositif comme ´ etant sa probabilit´ e de fonctionner correcte- ment pendant une dur´ ee donn´ ee, ou, ce qui revient au mˆ eme, la probabilit´ e qu’aucune d´ efaillance ne se produise pendant cette dur´ ee. 1. D´ eﬁnitions La variable al´ eatoire T, g´ en´ eralement absolument continue, repr´ esente la dur´ ee de vie d’un dispositif (ou la dur´ ee de bon fonctionnement jusqu’` a sa premi` ere panne). • Fiabilit´ e ` a l’instant t : R(t) = P([T > t]). • Fonction de r´ epartition de T : F(t) = P([T ≤t]). • Densit´ e de d´ efaillance : f, densit´ e de la loi de T. • Taux de d´ efaillance instantann´ e : λ(t) = lim h→0 = P [T >t]([t < T < t + h]). Propri´ et´ es : L’une de ces donn´ ees suﬃt ` a caract´ eriser la loi de T. Preuve : On a R(t) = 1 −F(t), F(t) = R t 0 f(u)du, R(t) = R +∞ t f(u)du et f(t) = F ′(t) = −R′(t). De plus, λ(t) = F ′(t) 1−F(t) = −R′(t) R(t) et R(t) = exp h −R t 0 λ(u) du i . 2 78 Fiabilit´ e 2. Lois utilis´ ees • Loi exponentielle E(λ) : f(t) = λe−λt1 I]0,+∞[(t), τ = IE(T) = 1 λ, λ(t) = λ (taux de d´ efaillance constant, caract´ erise les dispositifs sans usure). • Loi de Weibull : f(t) = λβ(t −t0)β−1e−λ(t−t0)β, IE(T) = Γ(1 + β−1)(λ(t −t0))−β−1. • Loi gamma γ(λ, a) : f(t) = λa Γ(a)ta−1e−λt1 I]0,+∞[(t), IE(T) = a λ. • Loi normale N(m, σ2) : f(t) = 1 σ √ 2πe−(t−m)2 2σ2 , IE(T) = m. • Loi log-normale : f(t) = 1 tσ √ 2πe−(ln t−m)2 2σ2 1 I]0,+∞[(t), IE(T) = em+ σ2 2 . II- SYST` EMES NON R´ EPARABLES 1. G´ en´ eralit´ es On appelle syst` eme tout assemblage de composants, dont on suppose en g´ en´ eral (mais pas toujours !) que les pannes se produisent ind´ ependamment les unes des autres. Un syst` eme non r´ eparable est un syst` eme pour lequel aucune r´ eparation de com- posants d´ efaillants n’est invisageable. ` A l’exception des syst` emes en s´ erie, les syst` emes ont g´ en´ eralement des structures redondantes : un ou plusieurs composants peuvent tomber en panne sans que le syst` eme ne cesse de fonctionner. En renfor¸ cant la redondance du syst` eme, on augmente sa ﬁabilit´ e. Il existe 2 types de redondance : →redondance active (r´ eserve chaude) : tous les composants fonctionnent en mˆ eme temps. →redondance passive (r´ eserve froide) : il existe des composants en attentte, qui ne peuvent pas tomber en panne tant qu’ils ne sont pas mis en marche. 2. Syst` emes sans redondance Un syst` eme de n ´ el´ ements en s´ erie ne fonctionne que si les n ´ el´ ements fonctionnent. T = min(T1, · · · , Tn) et R(t) = n Y i=1 Ri(t). Sa ﬁabilit´ e est plus faible que celle du composant le moins ﬁable. 3. Syst` emes avec redondance • Syst` eme en parall` ele : fonctionne si au moins l’un de ses n ´ el´ ements fonctionne. T = max(T1, · · · , Tn) et F(t) = n Y i=1 Fi(t). Processus al´ eatoires et mod´ elisation 79 Sa ﬁabilit´ e est sup´ erieure ` a celle du composant le plus ﬁable. • Syst` eme k-de-n : fonctionne si au moins k de ses n ´ el´ ements fonctionnent. • Syst` eme mixte : association de syst` emes en s´ erie et en parall` ele, ou d’autres syst` emes ` a r´ eserve chaude. • Syst` eme ` a redondance passive (syst` eme ` a commutation) : un seul ´ el´ ement est en service ` a la fois. Lorsqu’il tombe en panne, il est imm´ ediatement remplac´ e. T = T1 + · · · + Tn. III SYST` EMES R´ EPARABLES 1. Introduction Dans le but d’augmenter la ﬁabilit´ e d’un syst` eme ` a redondance, on peut envisager de r´ eparer les composants qui tombent en panne. On admettra g´ en´ eralement qu’un com- posant r´ epar´ e se comporte comme un composant neuf. Pour r´ esoudre ce type de probl` eme, il est n´ ecessaire de connaˆ ıtre, non seulement la loi de la dur´ ee de bon fonctionnement, mais en plus, celle de la dur´ ee de r´ eparation. Lorsque le nombre de r´ eparateurs s est inf´ erieur au nombre de composants du dis- positif, une ﬁle d’attente de composants en panne peut se former. Il s’agit d’un syst` eme ferm´ e d’attente (nombre de clients limit´ e au n composants du dispositif), dont le taux d’entr´ ee varie en fonction de l’´ etat dans lequel le syst` eme se trouve. Pour un syst` eme r´ eparable, il est n´ ecessaire d’introduire une autre notion probabiliste : celle de disponibilit´ e : la disponibilit´ e ` a l’instant t est la probabilit´ e D(t) que le dis- positif fonctionne ` a l’instant t. La diﬀ´ erence avec la ﬁabilit´ e est que, pour la disponibilit´ e, il a pu ˆ etre en panne avant l’instant t, mais ` a l’instant t, il fonctionne. Remarque : D(t) ≥R(t) et, dans le cas d’un syst` eme non r´ eparable, D(t) = R(t). 2. M´ ethode des processus stochastiques Il est n´ ecessaire de d´ eﬁnir avec pr´ ecision tous les ´ etats possibles dans lesquels le syst` eme peut se trouver. On ´ etudie alors le processus (Xt)t≥0, o` u Xt est l’´ etat dans lequel le processus se trouve ` a l’instant t. Un certain nombre de ces ´ etats (sous-ensemble EF de E) correspondent au fonctionnement du dispositif, les autres (sous-ensemble ED de E) correspondent au cas o` u le dispositif est d´ efectueux (ne peut pas fonctionner). On a alors D(t) = P k∈EF pk(t). Pour calculer la ﬁabilit´ e, on consid` ere le syst` eme non r´ eparable correspondant en ren- dant les ´ etats de ED absorbants (taux de sortie de ces ´ etats rendus nuls). 80 Fiabilit´ e La r´ esolution de tels probl` emes s’eﬀectue comme dans les chapitres pr´ ec´ edents. Ainsi : →on commence par d´ eterminer le graphe des taux de transition ; →on ´ ecrit les ´ equations de Kolmogorov : en chaque ´ etat k, la variation de ﬂux est ´ egale ` a la diﬀ´ erence ( ﬂux entrant - ﬂux sortant ), c’est-` a-dire : p′ k(t) = X i̸=k ai,kpi(t) − X j̸=k ak,jpk(t) (ai,j repr´ esentant le taux de transition de i vers j) ; →Le syst` eme diﬀ´ erentiel obtenu est g´ en´ eralement diﬃcile ` a r´ esoudre. Pourtant, mˆ eme si, pour la disponibilit´ e, on peut parfois se contenter du r´ egime stationnaire, il est le plus souvent n´ ecessaire de connaˆ ıtre la ﬁabilit´ e ou la disponibilit´ e ` a un instant t donn´ e. C’est pourquoi, on cherche g´ en´ eralement ` a r´ esoudre le syst` eme ` a l’aide des transform´ ees de Laplace. En eﬀet, ´ etant donnn´ e que L(p′ k)(p) = pL(pk)(p) −pk(0), le syst` eme diﬀ´ erentiel, se transforme en syst` eme lin´ eaire, beaucoup plus simple ` a r´ esoudre. On obtient les L(pk)(p) sous forme de fractions rationnelles de p, que l’on d´ ecompose en ´ el´ ements simples, aﬁn de “remonter ” ` a pk(t), grˆ ace ` a 1 p−α = L(t 7→eαt)(p) notamment. La “technique” ´ evoqu´ ee ici est d´ evelopp´ ee dans les exercices qui suivent. Processus al´ eatoires et mod´ elisation 81 Quelques exercices 49 La dur´ ee de bon fonctionnement d’un compteur ´ electrique suit la loi exponentielle, de moyenne 10 mois. Lorsqu’il est en panne, l’ouvrier met un temps exponentiel de moyenne 15 jours avant de s’en apercevoir et alors, la r´ uploads/Industriel/ m2proces-ch7.pdf