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1 - Les nombres dans Z, Q, R et C Avertissement Certains aspects de ce chapitre

1 - Les nombres dans Z, Q, R et C Avertissement Certains aspects de ce chapitre sont élémentaires et peuvent donner l'impression qu'une lecture rapide est suffisante. En réalité, on a profité de la simplicité des exemples pour présenter des points très importants (et pas toujours évidents) du fonctionnement de MAPLE et une lecture attentive, y compris l'annexe Commentaires sur l'utilisation de MAPLE, est vivement conseillée pour aborder la suite du manuel. Entrées des commandes : Pour qu'une ligne d'opérations soit effectuée et affichée elle doit être écrite après un prompt (ici " > ") et doit se terminer par un " ; " puis par Return. Si la ligne se termine par " : " puis par Return elle est exécutée mais aucun résultat n'est affiché. Nous aurons l'occasion de revenir sur l'utilité de cette écriture. Nombres entiers On profitera des exemples très simples fournis par les nombres entiers pour donner quelques caractéristiques sur l'entrée des commandes. Les nombres entiers et les opérations sont représentés de façon très simple : la multiplication est désignée par une astérisque obligatoire et les parenthèses définissent la priorité des opérations. Notez le ; terminant la commande > (-3+1)*(4-1)-3; -9 Pour une commande longue MAPLE coupe l'expression automatiquement et passe à la ligne suivante (césure). On peut cependant souhaiter, pour une meilleure présentation, effectuer soi-même ces césures. Ainsi dans l'exemple suivant la première ligne se termine par Majuscule-Return. MAPLE attend alors la suite de l'expression qui sera donnée à la ligne suivante. Celle-ci se termine par un " ; " puis Return . Des espaces peuvent permettre d'améliorer la lisibilité mais ils ne peuvent pas être insérés dans l'écriture d'un nombre (par exemple 1000 et non 1 000) > ((3+7)*(5-3)+2) - (-32*2/(64-4*8)) + (6-4)/2 + (121-81)/2 - 3*(5/2+3/2) - 720/5/6/4/2; 30 > 3*1 000; Error, unexpected number __________________IMPORTANT_____________________ On peut toujours, à l'aide de la souris, positionner le pointeur (petite barre verticale clignotante) sur une commande déjà exécutée, la modifier (ou non) et l'exécuter à nouveau. Il faut alors noter les deux points suivants : • L'état de MAPLE n'est pas nécessairement celui qui est affiché par la feuille de calcul... ! Deux exemples d'illustration sont donnés à la page 12, paragraphe IV de Commentaires sur l'utilisation de MAPLE. • Pour exécuter une commande, le pointeur peut se trouver n'importe où sur la ligne de commande quand on tape Return. Après la correction d'une commande il est inutile de perdre son temps à déplacer ce pointeur en fin de ligne comme on voit le faire souvent chez les débutants. ___________________________________________________ Symboles %, %% et %%% : Le symbole % (dito) désigne le résultat de la dernière instruction exécutée (dans l'ordre chronologique) et peut être utilisé dans une expression. Le double symbole %% et le triple symbole %%% désignent les résultats précédents. 1 %% et le triple symbole %%% désignent les résultats précédents. > 2*%; 3*%% ; 3*(%%%/2+1); 60 90 48 Attention : ces symboles sont d'un usage commode mais doivent être manipulés avec précautions (voir l'annexe importante à la fin de ce chapitre sur le fonctionnement de MAPLE, page 13). Autre exemple permettant une présentation sur plusieurs lignes de plusieurs commandes: la première ligne se termine par un Majuscule-Return, la deuxième par Return. Chaque expression se termine par un ; ce qui entrainera l'évaluation de chacune et l'affichage sur des lignes séparées. On peut écrire un commentaire à la fin de la ligne (après le : ou le ; ) en le faisant précéder du caractère #. L'élévation à une puissance s'écrit à l'aide du symbole ^ > -6*(-4) ; -10/(-2); # Les parenthèses sont nécessaires (-3-1)^2 ; (1/2)^(-2); 24 5 16 4 Si on termine chaque expression par une virgule et la dernière par point-virgule on obtiendra aussi les résultats. Ceux-ci s'afficheront sur la même ligne mais "l'objet" MAPLE créé aura une signification particulière que nous examinerons au chapitre 3, Ensembles, Listes, Intervalles, Suites. > -6*(-4) , -10/(-2), (-3-1)^2 , (1/2)^(-2); , , , 24 5 16 4 MAPLE connaît beaucoup de fonctions définies pour les entiers comme par exemple la fonction factorielle qu'on utilise avec la notation standard. > 40!-6^36; 815915283247897734335296844797625358725828050944 Le nombre maximal de chiffres autorisés, bien que très grand, est limité et sa valeur dépend de l'ordinateur utilisé. On peut l'obtenir avec la commande (ici plus de 268 millions de chiffres, mais attention aux temps de calcul ! ): > kernelopts(maxdigits); 268435448 On peut affecter, on dit aussi assigner, un nombre à un nom en utilisant la notation : = Attention: le signe = seul a une autre signification sur laquelle nous reviendrons (définition d'une équation) > n:=2^77-1; := n 151115727451828646838271 On peut se poser la question " n est-il premier ? " en utilisant la fonction isprime (lire : is prime ?). La réponse false signifiant "faux", la réponse est "non" > isprime(n); false On obtient alors sa décomposition en facteurs premiers avec la fonction ifactor (integer factorization)) 2 (integer factorization)) > ifactor(n); ( ) 23 ( ) 89 ( ) 127 ( ) 581283643249112959 Autre exemple : les coefficients du binôme C(n,p) = n! / [p! (n–p)!] sont donnés par la fonction binomial(n, p) > binomial(10,3); 120 On peut vérifier la relation entre les coefficients du binôme C(n+1, p+1) = C(n, p) + C(n, p+1) > binomial(5,3), binomial(4,2)+binomial(4,3); , 10 10 Aide MAPLE On ne détaillera pas dans ce manuel toutes les fonctions de MAPLE relatives aux calculs sur les nombres entiers pas plus que bien d'autres fonctions. Celles-ci peuvent être découvertes dans l'aide (help) en ligne (c'est-à-dire directement à l'aide du logiciel). Il faut aussi savoir que toutes les fonctions ne sont pas "chargées" au moment du lancement de MAPLE et que certaines ne seront accessibles qu'après les avoir lues dans des bibliothèques (fonction with). C'est un point sur lequel nous reviendrons en temps utile. L'aide en ligne peut être obtenue de trois façons • Soit en donnant le nom de la fonction et en le faisant précéder d'un point d'interrogation > ?binomial Une fenêtre s'ouvre alors et donne la définition, des explications et des exemples. On peut aussi utiliser la fonction example: > example(binomial); • On trouvera aussi un menu help qui offre plusieurs options - L'option using help qui ouvre une fenêtre contenant un classement hiérarchisé des fonctionnalités de MAPLE et un guide d'utilisation de l'aide en ligne. - L'option help on context. Lorsque le pointeur d'insertion (petite barre verticale clignotante indiquant où l'on se trouve dans la fenêtre) est sur un mot, par exemple binomial, help on binomial (ou help on context) permet d'ouvrir la fenêtre correspondante du help. - L'option Topics search ouvre une fenêtre dans laquelle on indique un mot pour lequel on recherche une information. Dès l'entrée de la première lettre une liste de tous les mots clés de MAPLE commençant par cette lettre s'affichent. Au fur et à mesure que l'on précise le mot, la liste se réduit. Un double "clic" sur la ligne du mot souhaité ouvre la fenêtre help. - L'option Full text search. Après avoir donné le mot complet, la liste des points d'entrée du help associé à ce mot sont donnés sous la forme d'une liste. Un double "clic" sur la ligne souhaitée ouvre la fenêtre help correspondante. On recommande vivement de compléter ces informations de base par une exploration des possibilités de l'aide en ligne que l'on trouvera avec l'option Using help du menu help. Nombres Rationnels Les nombres rationnels sont considérés par MAPLE comme tels s'ils ne sont pas simplifiables, c'est-à-dire comme des rapports de deux entiers et non comme leurs approximations décimales. L'évaluation d'un résultat non entier reste sous sa forme rationnelle. > 1/4-1/3; 4*(15/32+2*(-3/192+1/32)); -1 12 2 3 Nombres Irrationnels Comme pour les nombres rationnels, les nombres irrationnels sont conservés en tant que tels (sous une forme symbolique) s'ils ne sont pas simplifiables. Par exemple, pour une racine carrée on dispose de deux notations équivalentes : ^ ou sqrt (square root) : > a:=3^(1/2); a:=sqrt(3); sqrt(9); := a 3 := a 3 3 Le symbole a est uniquement considéré par MAPLE comme le nombre positif dont le carré vaut 3, etc. > a^2; 3 MAPLE effectue parfois automatiquement des transformations pour présenter un nombre > b:=2^(-1/3); b^(-3); := b 1 2 2 ( ) / 2 3 2 Il n'effectue pas nécessairement des calculs qui peuvent paraître évidents à l'utilisateur. Ici on doit forcer MAPLE à effectuer le travail à l'aide de la fonction simplify sur laquelle nous reviendrons au chapitre 13, Simplifications, Manipulations. > sqrt(6)/sqrt(2); simplify(%); 1 2 6 2 3 Nombres Remarquables MAPLE connaît, au sens de leurs propriétés et pas seulement par leurs approximations numériques, quelques nombres remarquables comme par exemple Pi = π (notez le P majuscule). Il peut ainsi exprimer certains résultats de fonctions classiques qui sont, si possible, évaluées automatiquement (GAMMA est la fonction eulerienne Γ) > Pi; cos(Pi/4); GAMMA(1/2); π 1 2 2 π Certaines valeurs que MAPLE sait calculer (ce n'est pas toujours le cas) ne le sont cependant pas et il faut forcer uploads/Industriel/ manuel-maple-7.pdf