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3M239 : Optimisation linéaire et convexité 2018–2019 TP n◦1 : Calcul matriciel

3M239 : Optimisation linéaire et convexité 2018–2019 TP n◦1 : Calcul matriciel sous Python Objectif : Réviser les fonctions de bases de la librairie numpy de Python liées au calcul matriciel. 1 Calcul matriciel avec Python et numpy Python est devenu un standard aussi bien dans le monde académique (recherche, enseignement, lycée, etc.) que dans le monde industriel. C’est un langage de programmation simple d’accès (au moins en surface) et d’une redoutable efcacité. Il est libre et s’utilise sur toutes les plateformes (Linux, Mac OSX, Windows). De plus, pour le calcul scientiﬁque, on dispose de la librairie numpy qui permet de rendre encore plus facile toutes les opérations de bases que l’on peut vouloir faire dans ce contexte (algèbre linéaire, optimisation, statistique, etc.). Ici, il s’agit de se familiariser avec la manipulation de matrices et quelques opérations d’algèbre linéaire. Comme tout apprentissage d’un langage de programmation, il faut utiliser la gigantesque source d’information qu’est internet. Le site ofciel de numpy est très bien fait : http://docs.scipy.org/ doc/numpy/reference/index.html . Je propose aussi l’introduction de Stéphane Gaïfas du CMAP : http://www.cmap.polytechnique.fr/~gaiffas/intro_python.html. 1.1 Écrire un script python Python peut s’utiliser en mode console. L’interpréteur interactif permet d’écrire et d’exécuter du code Python à la volée, de faire des tests rapides, d’obtenir facilement des informations sur une fonction ou un module...Ça peut être un bon moyen de faire des testes. Cependant, en utilisant l’interpréteur interactif, nous ne pouvons garder l’historique de nos commande pour résoudre tel ou tel problème. C’est pourquoi nous utiliserons des ﬁchiers regroupant nos instructions python : les ﬁchiers de script. Sous Linux, tous nos scripts (nommé par exemple TP1.py) commenceront par : 1 #!/usr/bin/env python Ceci permet d’indiquer au système quel programme doit être utilisé pour exécuter le script. Dans un terminal, nous lancerons le script comme ceci : > ./TP1.py Par exemple, le script suivant 1 #!/usr/bin/env python 2 print("Hello World!!") afchera Hello World!! dans le terminal. Nous utiliserons abondamment la librairie numpy, donc tous nos scripts devraient commencer par les lignes suivantes : 1 #!/usr/bin/env python 2 # encoding: utf-8 3 4 import numpy as np La deuxième ligne indique l’encodage de votre ﬁchier source, c’est-à-dire le code utiliser pour coder les caractères. Cela permet par exemple de mettre des caractères accentués dans les commentaires. Mes ﬁchiers sont en tous en utf8. D’après un énoncé de Maxime Chupin Sorbonne Université 3M239 : Optimisation linéaire et convexité 2018–2019 Les commentaires. Un commentaire est un texte ajouté au code source d’un programme servant à décrire le code source, facilitant sa compréhension par les humains. Il est donc séparé du reste du code grâce à une syntaxe particulière, ce qui fait qu’en général, le commentaire est ignoré par le compilateur ou l’interpréteur du langage concerné. Pour pouvoir (re)comprendre rapidement son code, le réuti- liser plus tard et le partager avec d’autres humains, il est nécessaire de commenter correctement sont code. Ici, la syntaxe particulière est le # en début de ligne qui fera que l’interpréteur python ignorera ce qui se trouve derrière ce caractère. 1.2 Librairies numpy La librairie numpy contient des fonctions essentielles pour traiter les tableaux, les matrices et les opérations de type algèbre linéaire avec Python. Dans cette section, je mets un très rapide listing des diférentes fonctions que nous allons utiliser tout au long de ce TP. Il s’agit juste d’une petite aide, il est nécessaire de compléter cela avec les documents d’introduction et de documentation que j’ai indiqués plus haut dans ce document. Les tableaux. Pour déﬁnir des matrices, ou tableaux, nous utiliserons numpy.array(), c’est-à-dire la fonction array() de la librairie numpy. Pour des questions pratiques, nous importons la librairie numpy avec la ligne suivante 1 import numpy as np qui nous permet de faire référence à numpy par simplement np. Si nous voulons déﬁnir un tableau d’une ligne contenant les valeurs (1,2,3,4), on écrira alors : 1 #!/usr/bin/env python 2 # encoding: utf-8 3 4 import numpy as np 5 6 A = np.array([1,2,3,4]) Pour une matrice de deux lignes par exemple on fera : 1 #!/usr/bin/env python 2 # encoding: utf-8 3 4 import numpy as np 5 6 A = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8]]) Voici quelques opérations de bases sur les array : 1 #!/usr/bin/env python 2 # encoding: utf-8 3 4 import numpy as np 5 6 # tableaux 7 A = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[13,14,15,16]]) 8 # copy de tableau 9 B = A.copy() 10 # sans le .copy(), si on modifie la variable C, on modifie aussi A 11 C = A 12 # accès à un élément 13 print("A[0,3] = ", A[0,3]) 14 # accès à une ligne entière D’après un énoncé de Maxime Chupin Sorbonne Université 3M239 : Optimisation linéaire et convexité 2018–2019 15 D = A[1,:] 16 # accès à seulement quelques éléments d’une colonne 17 # indice départ : indice arrivé : step 18 E = A[1:4:2, 2] 19 20 # affichage 21 print("A = ", A) Listes des fonctions utiles. Voici une listes des fonctions qui peuvent vous être utiles pour ce TP (liste non exhaustive bien entendu). 1 type() 2 3 np.vstack() 4 np.hstack() 5 np.concatenate() 6 np.dot() 7 np.sum() 8 np.diag() 9 np.eye() 10 np.arange() 11 np.ones() 12 np.shape() 13 np.ndarray 14 15 np.linalg.eig() 16 np.linalg.inv() 17 np.linalg.matrix_rank() 18 np.linalg.solve() 1.3 Structure de contrôle, boucles et fonctions L’indentation est fondamentale en Python. Les blocs sont identiﬁés par l’indentation, au lieu d’ac- colades comme en C ou C++; ou de begin ... end comme en Pascal ou en Ruby. Une augmentation de l’indentation marque le début d’un bloc, et une réduction de l’indentation marque la ﬁn du bloc courant. Boucle for. La syntaxe générale pour une boucle for est la suivante : 1 for element in objet_iterable: 2 traiter(element)) Par exemple, on peut écrire : 1 #!/usr/bin/env python 2 # encoding: utf-8 3 4 import numpy as np 5 6 # boucle: i variant de 0 à 9 7 for i in np.arange(10): 8 print("i = ", i) Structure if/else/elif. Pour la structure de test, là encore, ce sont les tabulations qui déﬁnissent les blocs. D’après un énoncé de Maxime Chupin Sorbonne Université 3M239 : Optimisation linéaire et convexité 2018–2019 1 if mois == ’Décembre’: 2 print ’Joyeux Noel’ 3 elif mois == ’Janvier’: 4 print ’Bonne année’ 5 else : 6 print ’rien ce mois’ Défnition de fonction. On peut déﬁnir des fonctions avec python. Voici la syntaxe : 1 def nom_fonction(liste de paramètres): 2 bloc d’instructions Un exemple : 1 def sommeEntiers(stop): 2 i = 0 3 somme = 0 4 while i < stop: 5 i = i + 1 6 somme = somme + i 7 return somme 8 9 compteur(4) 10 compteur(2) 2 Exercices Exercice 1 On considère la matrice A ∈M 3,4(R) déﬁnie par : © « 4 6 −2 3 2 −1 0 1 −7 0 1 12 ª ® ¬ . (a) Déﬁnir la matrice A comme un np.array(). (b) Modiﬁer la matrice A pour que ses deux premières lignes soient multipliées par 2 et que sa dernière colonne soit divisée par 3. (c) Créer une nouvelle matrice B déﬁnie par © « 4 5 6 5 10 15 1 1 1 ª ® ¬ , en utilisant le fait que les lignes 1 et 2 sont composées des éléments successifs de deux suites arithmétiques (voir fonction np.arange et np.ones()). (d) Créer la matrice C ∈M 3,3(R) extraite de A telle que pour 1 ⩽i, j ⩽3, cij = aij. (e) Diférents produits matriciels • Réaliser le produit matriciel D de B et A (np.dot()). • Réaliser le produit d’Hadamard E de B et de C. Pour mémoire, le produit d’Hadamard E ∈M 3,3(R) des matrices B ∈M 3,3(R) et C ∈M 3,3(R) est défni par ∀1 ⩽i, j ⩽3, eij = cijbij. (f) Calculer la somme des éléments de la matrice E et le vecteur colonne Y ∈R3 tel que pour 1 ⩽i ⩽3, yi = Í4 j=1 dij (np.sum()). D’après un énoncé de Maxime Chupin Sorbonne Université 3M239 : Optimisation linéaire et convexité 2018–2019 Exercice 2 Nous allons ici explorer quelques commandes très utiles en algèbre linéaire. On considère la matrice A ∈M 4,4(R) suivante © « 4 5 6 −1 5 10 15 2 6 15 1 4 −1 2 4 −2 ª ® ® ® ¬ . (a) Pourquoi A est-elle diagonalisable? À l’aide de la fonction np.linalg.eig(), calculer avec Python ses valeurs propres et donner une base de vecteurs propres. (b) Calculer de deux manières l’inverse de A en utilisant le résultat précédent et la fonction np.linalg .inv. Comparer les résultats obtenus (vous pourrez regarder la librairie matplotlib pour faire des tracés avec Python). (c) On considère maintenant la matrice A ∈Mn,n(R) © « 2 −1 0 · · · · · · 0 −1 2 −1 ... ... . . . 0 ... ... ... ... . . . . . . ... ... ... ... 0 . . . uploads/Industriel/ tp1-pdf 1 .pdf