Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations inté

Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Rappels de mathématique G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Laboratoire Ondes et Milieux Complexes, UMR 6294 - CNRS Thématique Hydrodynamique Marine gregory.pinon@univ-lehavre.fr – Hors des cours, je suis au laboratoire 53 rue Prony Année 2020/2021 G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Plan de l’exposé 1 Eléments de calcul tensoriel Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel 2 Les opérateurs différentiels 3 Les formulations intégrales 4 Calcul de déterminants de matrice 5 Bibliographie G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Définition des tenseurs Tenseur : Opérateur liant dans un même repère deux grandeurs physique en un même point d’un espace de dimension d. Ses composantes dans un repère donné ne dépendent que du point M. Le rang d’un tenseur caractérise son nombre d’indices T (0) Tenseur de rang 0 : Scalaire à d0 = 1 composante T (M) T (1) Tenseur de rang 1 : Vecteur à d1 = d composantes Ti (M) T (2) Tenseur de rang 2 : Matrice à d2 composantes Tij (M) T (n) Tenseur de rang n : Matrice à dn composantes Tij...n (M) G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Opération sur les tenseurs Addition tensorielle (+) : tenseurs de même rang. C(n) = A(n) + B(n) soit Cij...n = Aij...n + Bij...n Produit tensoriel (⊗) C(n+m) = A(n) ⊗B(m) Pas pour ce cours (Cf. bibliographie) Produit contracté (·) C(n+m−2) = A(n) · B(m) Pas pour ce cours (Cf. bibliographie) G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Opération sur les tenseurs Convention des indices, souvent appelé "convention d’Einstein" : Un indice répété implique la sommation sur l’ensemble des valeurs 1...d prises par cet indice. On a, par exemple : Cij = ∑3 k=1 AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai3B3j ci = σijnj avec i = 1,2,3 et j = 1,2,3 dans R 3 G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Symétrie et antisymétrie Symétrie et Antisymétrie par rapport au couple d’indice l,r : tenseurs de même rang. C(n)symétrique{l,r} Cij...l..r...n = Cij...r..l...n C(n)antisymétrique{l,r} Cij...l..r...n = −Cij...r..l...n Symétrie et Antisymétrie complète pour tous les couples d’indice α,β ∈{1...n} : tenseurs de même rang. C(n)symétrique complète Cij...α..β...n = Cij...β..α...n C(n)antisymétrique complète Cij...α..β...n = (−1)pCij...β..α...n (avec p nombre de permutation) G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Tenseur identité et d’antisymétrie Tenseur identité : δ(2) ≡δ δ =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  avec ∀le repère  δij = 1 si i = j δij = 0 si i ̸= j Tenseur d’antisymétrie : ε(3)    εijk = 1 si {i,j,k}permutation paire du groupe{1,2,3} εijk = −1 si {i,j,k}permutation impaire du groupe{1,2,3} εijk = 0 si au moins 2 indices sont égaux G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie Définition des tenseurs Opération sur les tenseurs Symétrie et antisymétrie Tenseur identité et d’antisymétrie Produits scalaire et vectoriel Produits scalaire et vectoriel Produit scalaire : deux vecteurs →un scalaire − → u ·− → v = ukvk = u1v1 + u2v2 + u3v3 Produit vectoriel : deux vecteurs →un vecteur − → w = − → u ∧− → v =   u1 u2 u3  ∧   v1 v2 v3  =   u2v3 − u3v2 u3v1 − u1v3 u1v2 − u2v1   ou encore wi = εijkujvk G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie L ’opérateur Nabla Le gradient La divergence Le rotationnel Le laplacien Plan de l’exposé 1 Eléments de calcul tensoriel 2 Les opérateurs différentiels L ’opérateur Nabla Le gradient La divergence Le rotationnel Le laplacien 3 Les formulations intégrales 4 Calcul de déterminants de matrice 5 Bibliographie G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie L ’opérateur Nabla Le gradient La divergence Le rotationnel Le laplacien L ’opérateur Nabla L ’opérateur Nabla − → ∇est un opérateur couramment utilisé avec les fonctions vectorielles Il se définit comme suit : − → ∇=    ∂. ∂x1 ∂. ∂x2 ∂. ∂x3    G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie L ’opérateur Nabla Le gradient La divergence Le rotationnel Le laplacien Le gradient Gradient d’une fonction scalaire : Φ − → x  dΦ = − − → gradΦ·− → dx − → ∇Φ = − − → gradΦ − − → gradΦ =    ∂Φ ∂x1 ∂Φ ∂x2 ∂Φ ∂x3    Gradient d’une fonction vectoriel, "un vecteur" : − → u − → x  − → du = grad− → u ·− → dx t − → ∇⊗− → u  = grad− → u grad− → u =    ∂u1 ∂x1 ∂u1 ∂x2 ∂u1 ∂x3 ∂u2 ∂x1 ∂u2 ∂x2 ∂u2 ∂x3 ∂u3 ∂x1 ∂u3 ∂x2 ∂u3 ∂x3    G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie L ’opérateur Nabla Le gradient La divergence Le rotationnel Le laplacien La divergence La divergence d’une fonction vectoriel, "un vecteur" : − → u − → x  div(− → u ) = − → ∇·− → u div(− → u ) = ∂uk ∂xk div(− → u ) = ∂u1 ∂x1 + ∂u2 ∂x2 + ∂u3 ∂x3 G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie L ’opérateur Nabla Le gradient La divergence Le rotationnel Le laplacien La divergence La divergence d’un tenseur de rang 2 : T (2) − → x  = T − → x  Divergence des vecteurs ligne : − → divD(T) = ∂T ij ∂xj − → divD(T) =    ∂T 11 ∂x1 + ∂T 12 ∂x2 + ∂T 13 ∂x3 ∂T 21 ∂x1 + ∂T 22 ∂x2 + ∂T 23 ∂x3 ∂T 31 ∂x1 + ∂T 32 ∂x2 + ∂T 33 ∂x3    Divergence des vecteurs colonne : − → divG(T) = ∂T ij ∂xi − → divG(T) =    ∂T 11 ∂x1 + ∂T 21 ∂x2 + ∂T 31 ∂x3 ∂T 12 ∂x1 + ∂T 22 ∂x2 + ∂T 32 ∂x3 ∂T 13 ∂x1 + ∂T 23 ∂x2 + ∂T 33 ∂x3    G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de matrice Bibliographie L ’opérateur Nabla Le gradient La divergence Le rotationnel Le laplacien La divergence − → divD(T) = − → divG(tT) − → divG(T) = − → divD(tT) Donc si T est un tenseur symétrique ⇒T =t T ⇒− → divD(T) = − → divG(T) G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Rappels de mathématique Eléments de calcul tensoriel Les opérateurs différentiels Les formulations intégrales Calcul de déterminants de uploads/Industriel/ mmc-m1-cours00-rappelmath.pdf

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