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SIGNAUX ALÉATOIRES J.-F. BERCHER École Supérieure d’Ingénieurs en Électrotechni

SIGNAUX ALÉATOIRES J.-F. BERCHER École Supérieure d’Ingénieurs en Électrotechnique et Électronique Novembre 2001 – version 0.8 CHAPITRE I Table des matières I Table des matières 3 I Signaux aléatoires 5 1 Description d’un signal aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Description complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Description partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Description à un instant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Description à deux instants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Stationnarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Ergodisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Le syndrome gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Signaux aléatoires à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne ﬁnie . . . . 11 3.1 Analyse dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Déﬁnitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 Notion de bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Transformation des fonctions aléatoires par ﬁltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.2 Transformation de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.3 Théorème, ou formule des interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Analyse dans le domaine fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 La représentation de Cramér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 Bruit blanc à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Un exemple d’application : le ﬁltrage adapté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Maximisation du rapport signal-à-bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3 Approche probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 24 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 CHAPITRE I SIGNAUX ALÉATOIRES D E LA MÊME MANIÈRE qu’une variable aléatoire est un ensemble de valeurs caractérisé par une loi de probabilité, on appellera signal aléatoire, ou processus aléatoire un ensemble de fonctions auquel on adjoint une loi de probabilité. Existe-il des signaux naturels qui soient intrinsèquement aléatoires ? La plupart des phénomènes non- quantiques peuvent être décrits à l’aide d’équations de la physique : le jeu de pile ou face, si l’on connaît les caractéristiques physiques de la pièce, l’impulsion donnée, la densité et la composition de l’air, la tempé- rature, la pression atmosphérique, la gravité locale, est un jeu dont le résultat est parfaitement prévisible. De même pour le tirage du loto. Simplement le système dépendant d’un trop grand nombre de variables et de paramètres devient trop compliqué à décrire. D’autres exemples sont le signal de parole, l’électromyogramme ou la mesure de l’activité cérébrale, dont on peut espérer qu’ils ne résultent pas de « tirages au hasard », sont caractérisés comme des signaux aléatoires. D’autres signaux sont impossibles à caractériser « a priori ». Il s’agit en particulier d’un message transmis sur une ligne téléphonique (ou autre) : du point de vue du récepteur, ce signal est aléatoire jusqu’à sa réception. En effet si ce signal était déjà connu du récepteur, son contenu informationnel serait nul et il serait inutile de le transmettre. Ainsi, on pourra modéliser comme des signaux aléatoires les signaux dont le processus de production est trop compliqué à décrire, ou méconnu, ou des signaux pour lesquels l’aléa provient de la propre incertitude de l’observateur. À partir d’un modélisation probabiliste, il faut alors espérer que l’on pourra aboutir à une caractérisation intéressante et à des outils de traitement qui pourront permettre d’extraire de l’information des signaux aléatoires. Notation : On notera X(t,ω) un signal aléatoire X. Il s’agit d’un ensemble de fonctions de la variable t, cet ensemble étant indexé par la variable ω. Un signal aléatoire est une quantité bivariée, dépendant à la fois du temps t et de l’épreuve ω. Lorsque l’épreuve est ﬁxée, par exemple ω = ω i, on obtient une réalisation du processus aléatoire que l’on notera X(t,ωi) ou plus simplement xi(t). Lorsque la variable t est ﬁxée, le processus aléatoire se réduit alors à une simple variable aléatoire. En considérant le processus pour t = t i, on obtient ainsi une variable aléatoire X(ti,ω), que l’on notera Xi(ω), ou Xi. Enﬁn, on notera xi les valeurs prises par la variable aléatoire Xi. 1 Description d’un signal aléatoire Les signaux aléatoires pourront être caractérisés par le biais de deux types de description : une description complète qui permet de caractériser complètement le processus, mais qui nécessite une connaissance énorme, et une caractérisation partielle, à partir des moments du processus aléatoire. 1.1 Description complète X(t,ω) est connu si ∀t1,t2,...,tk, et ∀k, on connaît la loi conjointe pX1,X2,...,Xk(x1,x2,...,xk), où X1,X2,...,Xk sont les variables aléatoires associées aux k instants : X(t 1,ω),X(t2,ω),...,X(tk,ω). En fait, ceci est équivalent à dire que l’on connaît X(t,ω) si l’on connaît les lois de toutes les variables aléatoires Page 6 Chapitre I. uploads/Industriel/ poly-alea-pdf.pdf