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Spécialité mathématiques – Terminale Voie Générale Épreuve de mathématiques Suj

Spécialité mathématiques – Terminale Voie Générale Épreuve de mathématiques Sujet B Durée : 4 heures EXERCICE 1 (5 points) Ce QCM comprend 5 questions. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point. Question 1 On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé. Soit le plan dont on donne la représentation P paramétrique suivante : x t t y −t t z − t 0t avec t∈R et t ∈R { = 4 + 2 + 2 ′ = 4 + 6 ′ = 4 + 2 −1 ′ ′ Parmi les points suivants, lequel n’appartient pas au plan ? P Question 2 Soit une fonction définie et dérivable sur . On note sa fonction dérivée. Dans le plan muni d’un f R f′ repère orthonormé, la courbe représentative de est symétrique par rapport à l’origine du repère. f Sachant que , quelle proposition est vraie ? 021 f (x) = 2 Question 3 Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation admet : e e3x −1 = 9 −3x Question 4 Soit une suite arithmétique telle que et . Que vaut la raison de cette suite ? u ) ( n 2 u7 = 1 , u11 = 7 2 r a. (6;−;−) A 4 2 b. (2;−; ) B 6 6 c. (8;−;−2) C 2 1 d. (4;−0; ) D 1 8 a. 021 f (x) = 2 b. − 021 f (x) = 2 c. f (x) = 1 d. f (x) = 0 a. aucune solution b. une unique solution n( ) x > l √3 c. une unique solution n( ) x < l √3 d. deux solutions opposées a. −, r = 1 2 b. , r = 1 2 c. −, r = 1 4 d. −, r = 0 8 Question 5 Soient la suite arithmétique de premier terme et de raison 2, la suite géométrique de ) (un −0 u0 = 1 v ) ( n premier terme et de raison 2 et la suite définie sur par . La somme v0 = 1 w ) ( n N wn = 2 u +v n n u9 + v9 + w9 est égale à : EXERCICE 2 (5 points) Partie I Soit la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel , on a : . f R x x f (x) = x + 2 2 −x3 1. a. Étudier les variations de la fonction . f b. Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition. f 2. a. Démontrer que l’équation admet trois solutions dans . f (x) = 0 R b. Donner la valeur exacte ou un encadrement de cette solution à près. α 10.2 c. En déduire le signe de sur . f R Partie II Soit la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel , on a : g R x 1 )e g (x) = ( + x + x2 + x3 −x+2 On note la fonction dérivée de la fonction sur et la courbe représentative de dans un g′ g R Cg g repère orthonormé. 1. Démontrer que . (x) − g = ∞ 2. a. Démontrer que, pour tout , on a : . x > 1 1 < x < x2 < x3 b. En déduire que, pour tout , on a : x > 1 x e . 0 < g (x) < 4 3 −x+2 c. On admet que, pour tout entier naturel , on a : n e . xn −x = 0 Vérifier que, pour tout réel , puis montrer que . x x e e x e 4 3 −x+2 = 4 2 3 −x x e 4 3 −x+2 = 0 d. En déduire la limite de en . Donner une interprétation graphique. g + ∞ 3. Démontrer que, pour tout de , on a . x R (x)e g′ (x) = f −x+2 4. À l’aide des résultats de la partie I, dresser le tableau de variation de la fonction sur . g R EXERCICE 3 (6 points) On considère la suite définie pour tout entier naturel par et . u ) ( n u0 = 3 un+1 = 2 1 u ( n + 5 un) On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel , on a : . n un > 0 1. On désigne par la fonction définie sur l’intervalle par . h 0;+ [ ] ∞ h (x) = 2 1 x ( + x 5) Démontrer que la fonction admet un minimum. h En déduire que pour tout entier naturel , on a . n un ≥√5 2. a. Soit un entier naturel quelconque. Étudier le signe de et en déduire la variation de la n un+1 −un suite . u ) ( n b. En déduire que la suite converge. a. 560 1 b. 80 7 c. 20 5 d. 60 2 c. Justifier le fait que la limite de cette suite vérifie l’équation . Déterminer . l l = 2 1 l ( + l 5) l 3. Déterminer que, pour tout entier naturel , on a : n . un+1 −√5 = 2 1 un u − ( n √5) 2 4. On définit la suite par et pour, tout entier naturel , on a : . v ) ( n v0 = 1 n v vn+1 = 2 1 n2 a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a : . n un −√5 ≤vn b. Voici un script Python : En exécutant suite(8), l’algorithme affiche 5. Quelle inégalité peut-on en déduire pour ? v5 Justifier que est une valeur approchée de à près. u5 √5 10−8 EXERCICE 4 (4 points) Lors d’un concours pour entrer dans une grande école, Lucie doit passer une épreuve orale devant un jury et une épreuve écrite comportant un QCM. Partie I Le jury devant lequel Lucie passera son épreuve orale est composé de cinq personnes choisies au hasard parmi douze hommes et dix femmes. 1. Combien y a-t-il de jurys possibles composés uniquement de femmes ? 2. Combien y a-t-il de jurys possibles composés de deux femmes et trois hommes ? 3. Combien y a-t-il de jurys possibles composés d’au moins une femme ? 4. Corentin est l’un des douze hommes du jury. Combien y a-t-il de jurys dont Corentin pourrait être membre ? Partie II Son épreuve écrite est composée d’un QCM de vingt questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Parmi elles, une seule est correcte. On considère que Lucie répond au hasard aux vingt questions et que ses réponses sont indépendantes des unes des autres. Soit la variable aléatoire qui X compte le nombre de bonnes réponses. 1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. X 2. Quelle est la probabilité que Lucie réponde correctement à exactement 10 questions ? Arrondir à près. 10−3 3. Sachant que chaque bonne réponse rapporte un point et que l’absence de réponse ou une réponse erronée n’ajoute ni n’enlève de point, déterminer la note moyenne sur vingt que Lucie peut espérer obtenir. Correction EXERCICE 1 (5 points) Question 1 On résout les systèmes d’équations avec les coordonnées de quatre points proposés. Ainsi, on a : Si et alors donc . t = 1 t′ = 0 ; − − et z − − x = 4 + 2 + 0 = 4 y = 4 + 0 = 4 = 4 + 2 −0 = 2 ∈P A Si et alors donc . t = 0 − t′ = 1 ; − et z − 0 x = 4 + 0 −2 = 2 y = 0 −6 = 6 = 4 + 0 + 1 = 6 B ∈P Si et alors donc . t = 1 − t′ = 1 ; − −0 et z − 0 x = 4 + 2 −2 = 4 y = 4 −6 = 1 = 4 + 2 + 1 = 8 C ∈P Réponse c. Question 2 La courbe représentative de est symétrique par rapport à l’origine du repère, ce qui signifie que la f fonction est impaire. Donc pour tout , on a . ∈R x −(x) f (−) x = f Ainsi, − − 021 f (x) = f (−) x = f (x) = f (x) = −2 Réponse b. Question 3 e ⟺ ⟺e ⟺(e ) e3x −1 = 9 −3x e−3x e −1 3x = 9 3x (e ) 3x −1 = 9 3x 2 −e3x −9 = 0 uploads/Industriel/ bac-epreuve-de-specialite-mathematiques-sujet-et-corrige-n02.pdf