Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSITÉ DE LORRAINE Olivier GARET Probabilités et Processus Stochastiques VE

UNIVERSITÉ DE LORRAINE Olivier GARET Probabilités et Processus Stochastiques VERSION DE TRAVAIL DU 11 janvier 2016 2 Table des matières Table des matières i Table des matières i 0 Variables de Bernoulli 1 0.1 La question de l’existence : de [0, 1] à {0, 1}N . . . . . . . . . . 1 0.2 De {0, 1}N à [0, 1] : où l’on a envie des processus . . . . . . . . 3 0.3 Inégalités ; lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Variables de Rademacher et séries de Dirichlet . . . . . . . . . 6 0.4.1 Une série de Dirichlet aléatoire . . . . . . . . . . . . . 6 0.4.2 Comportement au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.5 Exercices sur les variables de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 9 0.5.1 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 Équi-intégrabilité 11 1.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Application à la convergence dans Lp . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Une condition suﬃsante d’équi-intégrabilité . . . . . . . . . . 13 1.4 Une version du lemme de Scheﬀé . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Caractérisation par l’équi-continuité . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Équi-intégrabilité d’une famille de lois . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Exercices sur l’équi-intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.1 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.2 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Espérance conditionnelle 19 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 i ii TABLE DES MATIÈRES 2.2.3 Espérance conditionnelle sachant une variable (ou un vecteur) aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Le cauchemar des conventions d’écriture . . . . . . . . 27 Des techniques de calculs utiles . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Exercices sur l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Martingales 35 3.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Filtrations et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Diﬀérences de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3 Sous-martingales, sur-martingales . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Premières inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1 Martingales et fonctions convexes . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2 Inégalité de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Convergence des martingales de carré intégrable . . . . . . . . 38 3.4 Temps d’arrêts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Convergence des martingales bornées dans L1 . . . . . . . . . 43 3.5.1 Théorème des traversées montantes . . . . . . . . . . . 43 3.5.2 Le théorème de convergence de Doob . . . . . . . . . . 45 3.5.3 Martingales inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.6 Approximation L1 par des martingales . . . . . . . . . . . . . 47 3.7 Décomposition de Doob (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.8 Exercices sur les martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.8.1 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.8.2 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Compléments de théorie de la mesure 57 4.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.1 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.2 Espaces polonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Notion de loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.1 Le théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.2 Loi d’un vecteur sachant un autre . . . . . . . . . . . . 65 4.2.3 Échantillonneur de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3 Théorème de Radon–Nikodým . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4 Exercices sur les compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.1 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.2 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 TABLE DES MATIÈRES iii 5 Inégalités 75 5.1 Inégalité d’Efron–Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 L’inégalité de Hoeﬀding–Azuma . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Principe de Maurey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Inégalité de Harris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 uploads/Industriel/ processus-stochastique-univ-loraine.pdf