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xercices Exercice 1 Pour chacune des fonctions suivantes. 1. Calculer les dériv

xercices Exercice 1 Pour chacune des fonctions suivantes. 1. Calculer les dérivées successives de jusqu'à l'ordre . Écrire le polynôme de Taylor . 2. Pour puis , donner une valeur numérique approchée de . Exercice 2 Pour chacune des fonctions suivantes. 1. Ecrire le développement limité d'ordre en 0 de . 2. Ecrire le développement limité d'ordre en 0 de . 3. Ecrire le développement limité d'ordre en 0 de . 4. Ecrire le développement limité d'ordre en 0 de . Exercice 3 Démontrer les résultats suivants. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. . 21. . 22. . 23. . 24. . 25. . 26. . 27. . Exercice 4 Soit un entier. Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre en 0 de la fonction . 1. Écrire le développement d'ordre de , puis composer avec . 2. Écrire les développements d'ordre de et , puis calculer la demi-somme. 3. Écrire les développements d'ordre de et , puis calculer le produit. Exercice 5 Soit un entier. Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre en 0 de la fonction . 1. Écrire le développement d'ordre de pour , puis composer avec . 2. Écrire le développement d'ordre de , puis dériver. 3. Écrire le développement d'ordre de , puis élever au carré. 4. Écrire le développement d'ordre de , puis composer avec . Exercice 6 Soit un entier. Démontrer les résultats suivants (utiliser une décomposition en éléments simples si nécessaire). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. . Exercice 7 1. Écrire les développements limités d'ordre en 0 des fonctions sinus et cosinus. 2. Calculer, en effectuant le produit, les développements limités d'ordre en 0 des fonctions : 3. Retrouver les résultats de la question précédente, en utilisant les formules : Exercice 8 1. Écrire les développements limités d'ordre en 0 des fonctions sinus et cosinus hyperboliques. 2. Calculer, en effectuant le produit, les développements limités d'ordre en 0 des fonctions : 3. Retrouver les résultats de la question précédente, en utilisant les formules : Exercice 9 Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre en 0 de la fonction arc sinus. On notera les trois réels (supposés inconnus) tels que . 1. Écrire le développement limité d'ordre de . En déduire les valeurs de . 2. Écrire les développements limités d'ordre de puis de . Retrouver les valeurs de . 3. Écrire les développements limités d'ordre de , puis de , puis de . En utilisant la formule , retrouver les valeurs de . 4. Écrire, en fonction de , les développement limités d'ordre de la primitive de nulle en 0, ainsi que de la fonction . En utilisant le fait que ces deux fonctions sont égales, retrouver les valeurs de . Exercice 10 Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre en 0 de la fonction argument sinus hyperbolique. On notera les trois réels (supposés inconnus) tels que . 1. On rappelle la formule . Calculer le développement limité d'ordre de la fonction . Calculer les valeurs de . 2. On rappelle que la dérivée de est la fonction . Calculer le développement limité d'ordre de cette fonction. Retrouver les valeurs de . 3. Écrire les développements limités d'ordre de puis de . Retrouver les valeurs de . 4. Écrire les développements limités d'ordre de , puis de . En utilisant la formule , retrouver les valeurs de . 5. Écrire, en fonction de , les développement limités d'ordre de la primitive de nulle en 0, ainsi que de la fonction . En utilisant le fait que ces deux fonctions sont égales, retrouver les valeurs de . Exercice 11 Soit un entier. Le but de l'exercice est de retrouver, par deux méthodes différentes, le développement limité d'ordre en 0 de la fonction argument tangente hyperbolique. 1. On rappelle que est la primitive, nulle en 0, de la fonction . Écrire le développement limité d'ordre de , et en déduire celui de . 2. On rappelle la formule : Ecrire les développements limités d'ordre de et , en déduire celui de . Exercice 12 1. Écrire les développements limités d'ordre en 0, des fonctions , , , , , , . 2. En déduire qu'il existe tel que pour tout : Exercice 13 Démontrer les résultats suivants. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Exercice 14 Pour chacune des fonctions suivantes. 1. Écrire le développement limité d'ordre de en 0. Ce développement sera utilisé pour toutes les questions suivantes. 2. Écrire un développement asymptotique au voisinage de pour . 3. Écrire un développement asymptotique au voisinage de pour . 4. Écrire un développement asymptotique au voisinage de pour . 5. Écrire un développement asymptotique au voisinage de pour . Exercice 15 Démontrer les résultats suivants, qui expriment des développements asymptotiques au voisinage de . 1. 2. 3. 4. 5. 6. Exercice 16 Démontrer les résultats suivants, qui expriment des développements asymptotiques au voisinage de . 1. 2. 3. 4. 5. 6. Exercice 17 Démontrer les résultats suivants. 1. 2. 3. 4. 5. Exercice 18 Pour chacune des applications suivantes, déterminer les asymptotes de en et ainsi que la position de la courbe représentative par rapport à ces asymptotes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Section : Entraînement Avant : Vrai ou faux Après : QCM © UJF Grenoble, 2011 Mentions légales uploads/Industriel/exercices-sur-les-dls.pdf