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1 CHAP.I GENERALITES MECANIQUES DES SOLIDES INDEFORMABLE I. La cinématique I.1.

1 CHAP.I GENERALITES MECANIQUES DES SOLIDES INDEFORMABLE I. La cinématique I.1. Introduction La cinématique est la partie de la mécanique qui permet d’étudier et de décrire les mouvements des corps, d’un point de vue purement mathématique, indépendamment des causes qui les produisent. L’analyse des grandeurs cinématiques (position, vitesse et accélération) permet de déterminer la géométrie et les dimensions des composants d’un mécanisme. La cinématique, combinée à l’étude des actions mécaniques, permet l’application du principe fondamental de la dynamique. I.2. Hypothèse Dans le cadre de l’étude cinématique on considère que les solides sont indéformables. Un solide (S) est considérée comme solide indéformable si quels que soient les points A et B appartenant à (S) la distance AB reste constante au cours du temps. A et B  (S),  t, AB =constante I.3. Référentiels Observons un Individu (A) immobile sur un escalator.  Corps A immobile par rapport à l’escalator. A Escalator (0)  r x 0 0 y  O  z0 Le repère 0 est lié au sol. L’individu A est mobile dans le repère 0, mais immobile par rapport à l’escalator. Source: www.almohandiss.com 2 L’étude de tout mouvement implique deux solides en présence :  Le solide (S) dont on étudie le mouvement ;  Le solide (S0) par rapport auquel on définit le mouvement. Le solide (S0) est appelé solide de référence, auquel on associe le repère de référence 0. Le mouvement du solide (S) par rapport au solide (S0) est noté Mvt S/S0. Quelle que soit l’étude cinématique à réaliser, on a toujours besoin de la situer dans le temps. On appelle instant t ou date t le temps écoulé depuis une origine des temps t0=0, choisie arbitrairement. L’unité de mesure du temps (système ISO) est la seconde, notée s. Origine t0=0 Instant 1 t1 Instant 2 t2 Echelle du temps La grandeur t = t2-t1 est appelée durée entre les deux instants t1 et t2. I.4. Trajectoire On appelle trajectoire du point (M) d’un solide (S) l’ensemble des positions occupées successivement par ce point, au cours du temps, et au cours de son déplacement par rapport à un référentiel donné. Une trajectoire est donc représentée par une courbe (C). Cette trajectoire sera notée : TMS/R0 : trajectoire du point M appartenant à S, par rapport au repère 0. Source: www.almohandiss.com 3 I.5. Mouvements particuliers de solides Famille de mouvement Mouvement particulier Exemple Définition Translation Translation quelconque Un solide est en translation dans un repère R si n’importe quel bipoint (AB) du solide reste parallèle à sa position initiale au cours du mouvement. Translation rectiligne Tous les points du solide se déplacent suivant des lignes parallèles entre elles. Translation circulaire Tous les points du solide se déplacent suivant des courbes géométriques identiques ou superposables. Rotation Rotation Tous les points du solide décrivent des cercles concentriques centrés sur l’axe du mouvement. Source: www.almohandiss.com 4 Mouvement plan Mouvement plan Tous les points du solide se déplacent dans des plans parallèles entre eux. I.6. Vecteur position À tout instant t, la position de n’importe quel point du solide dans l’espace est bien définie. Pour ce faire, nous utiliserons le vecteur position. Soit (S) un solide en mouvement par rapport à Un repère 0  (O,r x 0,r y 0,r z 0). Soit M un point appartenant au solide (S) de coordonnées x(t),y(t),z(t) à l’instant t considéré. Au cours de ce mouvement, le point M décrit dans le repère 0 une courbe (C) appelée trajectoire du point M(t) dans le repère 0. Le vecteur position du point M(t) du solide (S), dans le repère 0, à l’instant t, est le vecteur (t) OM où O est l’origine du repère 0 . Le vecteur position (t) OM s’exprime de la manière suivante :  OM(t)x(t).r x 0y(t).r y 0z(t).r z 0 I.7. Notion de vitesse Soit (S) un solide en mouvement dans un repère 0. Soit M un point appartenant au solide (S), de coordonnées x(t), y(t) et z(t) à l’instant t. Soit T(MS/0) du point M appartenant à S, par rapport au repère 0. Sur cette trajectoire, choisissons par convention :  une origine M0 ;  un sens positif ;  une unité de longueur. On relève, aux instants t0, t1, t2, les positions du point M appartenant à S dans le repère 0. T M  S / R 0 M ( S ) ( C ) (  0 )     x 0 0 y  O  z 0 (t) OM Source: www.almohandiss.com 5 Instant t0 t1 t2 Position sur T(MS/0) M0 M1 M2 Abscisse curviligne s = f(t) s0 = 0 s1 = M0M1 s2 = M0M2 S = arc M0M = valeur algébrique, à l’instant t, de l’arc orienté M0M Entre les deux instants t1 et t2, il est possible de définir la vitesse moyenne du point M appartenant à S, par rapport au repère 0: V(t1t2)moy = 1 2 1 2 t t s s   =  s t Unité : vitesse s’exprime en m/s Pour définir la « grandeur cinématique» suivante, nous allons faire tendre l’intervalle de temps  t vers zéro. Nous aboutirons, ainsi, à la mise en place du Vecteur vitesse instantanée. I.8. Vecteur vitesse instantanée Par définition, le vecteur vitesse instantanée du point M dans son mouvement par rapport au repère   (O,r x ,r y ,r z ), est égal à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur position (t) OM , dans le repère.  V(MS/R) =  lim t0 MM' t soit  V(MS/R) =  dOM dt        Le vecteur  V(MS/R) est tel que : - son origine est confondue avec la position de M à l’instant t ; - il est toujours tangent en M à la trajectoire T(MS/) ; - il est orienté dans le sens du mouvement ; - sa norme est  V(MS/R) = t d s d ; Unité : mètre par seconde, soit m/s. Source: www.almohandiss.com 6 Autre expression possible : Si l’on connaît  (x,y,z) OM x(t) y(t) z(t) Alors,  (x,y,z) V(MS/R) x'(t) dx(t) dt y'(t) dy(t) dt z'(t) dz(t) dt I.9. Vecteur Accélération instantanée Par définition le vecteur accélération instantanée du point M dans son mouvement par rapport au repère   (O,r x ,r y ,r z ), est égal à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur vitesse  V(MS/R), dans le repère.  (MS/R) =  dV(MS/R) dt        d2OM dt2        L’accélération est parfois notée :  a(MS/R)ou  (MS/R) Une accélération s’exprime en m/s2. Autre expression possible : Si l’on connaît  (x,y,z) OM x(t) y(t) z(t) Alors,  (x,y,z) (MS/R) x''(t) d2x(t) dt 2 y''(t) d2y(t) dt 2 z''(t) d2z(t) dt 2 Source: www.almohandiss.com 7 II. Modélisation des actions mécaniques II.1. Définition d'une action mécanique. D'une façon générale, on appelle action mécanique toute cause physique susceptible de :  maintenir un corps au repos,  créer, de maintenir ou de modifier un mouvement,  déformer un corps. II.2. Classification des actions mécaniques Les actions mécaniques sont classées en deux familles:  Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, champ magnétique)  Les actions mécaniques de contact (dans les liaisons mécaniques) Si un ensemble de corps est défini, on distingue les actions mécaniques extérieures des actions mécaniques intérieures à cet ensemble. Soient trois solides S1, S2 et S3 ( voir fig1). Soit E l'ensemble constitué par les corps S1 et S2 : E={ S1, S2 }. Le bilan des actions mécaniques extérieures qui agissent sur l’ensemble E s’établit ainsi:  Poids de l’ensemble E (Action Mécanique à distance : Poids de S1 et S2).  Actions mécaniques de contact exercées par S3 sur l’ensemble E aux points A, C et D (Actions Mécaniques de contact). (S1) (S2) A B C D (S3) fig.1 II.3. Notion de Force ; Moment ; Couple ; II.3.1. Notion de force On appelle force, l'action mécanique (attraction ou répulsion) qui s'exerce mutuellement entre deux solides. Ces deux solides ne sont pas obligatoirement en contact. Source: www.almohandiss.com 8 Une force s’applique en un point. L’action mécanique exercée par une force sur une pièce dépend de :  L’intensité de la force,  La direction de la force,  Du sens de la force. Remarque : L’entité mathématique « Vecteur » est, lui, aussi caractérisé par sa Norme, sa Direction et son Sens. Une force sera donc modélisée par un vecteur, associé à un Point d’application. Unité : Une force s’exprime en Newton Notation :  F(S1S2 ) II.3.2. Notion de moment II.3.2.1. Moment d’une force par rapport à un point Considérons un utilisateur qui souhaite, à l’aide d’une clé, fixer la roue d’un véhicule. Il positionne sa main au point A. Puis il commence par exercer une force  F 1 intégralement portée par  x. Malgré sa bonne volonté, il n’arrive pas à obtenir le serrage uploads/Ingenierie_Lourd/ 01-generalites-sur-la-mecanique-du-solide-indeformable.pdf