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MINESEC Année scolaire : 2017-2018 Lycée TSF MONGO Joseph Classe : P reD Durée

MINESEC Année scolaire : 2017-2018 Lycée TSF MONGO Joseph Classe : P reD Durée : 3 heures Département de Mathématiques Séquence 3 Janvier 2018 Coefﬁcient : 04 Épreuve de Mathématiques Le correcteur tiendra compte de la rigueur dans la rédaction et de la clarté de la copie. EXERCICE 1 [3pts] 1. Déterminer la mesure principale des angles suivants : −129Π 5 ; 57Π 4 . (1 pt) 2. Exprimer cos(2x) en fonction de cosx, puis en fonction de sinx. (1 pt) 3. Déterminer cos Π 12 et sin Π 12. (1 pt) (On pourra utiliser 2.) EXERCICE 2 [3pts] 1. Montrer que (2+2 p 3)2 = 16+8 p 3. (0,25 pt) 2. Résoudre dans R l’équation (E) : 4x2 −(2−2 p 3)x − p 3 = 0. (0,75 pt) 3. En déduire dans l’intervalle [0;2Π] la solution de l’équation : (E′) : 4cos2x −(2−2 p 3)cosx − p 3 = 0. (1 pt) 4. Placer les images des solutions de l’éqution (E′) sur le cercle trigonométrique. (1 pt) EXERCICE 3 [4pts] ABCD étant un rectangle tel que AB = 6 et AD = 8. 1. Construire le barycentre G de (A;1) ; (B;3) ; (C;3) et (D;1). (0,5 pt) 2. I et J étant des milieux respectifs de [BC] et [AD] ; démontrer que les points I, J et G sont alignés. (1 pt) 3. Calculer G A2, GB2, GC 2 et GD2. (1 pt) 4. Montrer que M A2 +3MB2 +3MC 2 + MD2 = 8MG2 +G A2 +3GB2 +3GC 2 +GD2. (0,5 pt) 5. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que M A2 +3MB2 +3MC 2 + MD2 = 310. (1 pt) Problème [10pts] Le problème comporte deux parties A et B. Partie A [4,5pts] Le plan est muni d,un repère orthogonal. On considére la fonction f : R →R ; x 7→sin(−2x + Π 6 ). 1. Démontrer que f est une fonction périodique de période Π. (0,5 pt) 2. f ′ est la fonction dérivée de f . Vériﬁer que sur l’intervalle [0;Π], Π 3 et 5Π 6 sont les deux solutions de l’équation : f ′(x) = 0. (1 pt) 3. Étudier le signe de cos(−2x + Π 6 ) dans chacun des cas suivants : x ∈[0; Π 3 ] ; x ∈[Π 3 ; 5Π 6 ] ; x ∈[5Π 6 ;Π]. (1,5 pts) Epreuve de Mathématiques, Classe : Pre D 1 / 2 ©Lycée TSF MONGO Joseph Janvier 2018 4. En déduire le sens de variation de la restriction à [0;Π] de la fonction f . Donner son tableau de variation. Calculer f (0) et f (Π). (1,5 pts) Partie B [5,5pts] Le plan est muni du repère orthonormé (O,I, J). On considère la fonction rationnelle f déﬁnie par f (x) = 3x2+ax+b x2+1 . 1. Déterminer l’ensemble de déﬁnition de f . (0,25 pt) 2. Déterminer les nombres réels a et b pour que la courbe (C f ) de f soit tangente au point A d’abscisse 0 à la droite d’équation y = 4x +3. (1 pt) 3. Pour les valeurs de a et b trouvées à la question 2., démontrer que pour tout réel x, f (x) = 3+ 4x x2+1. (0,5 pt) 4. Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de déﬁnition et en déduire la nature de l’asymptote à la représentation de f . (0,75 pt) 5. Démontrer que le point I(0;3) est centre de symétrie de (C f ). (0,5 pt) 6. Calculer la dérivée f ′ de la fonction f , étudier le signe de sa dérivée puis en déduire le sens de variation de la fonction f . Donner son tableau de variation. (1,5 pts) 7. Constuire (C f ), les asymptotes et la tangente en A à (C f ) dans le repère orthonormé (O,I, J). (1,5 pts) EXAMINATEUR : Département de Mathématiques. Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année Bonne année «Ce n’est pas parce que les choses sont difﬁciles que nous n’osons pas, c’est parce que nous n’osons pas qu’elles sont difﬁciles : Disait SENEQUE» Epreuve de Mathématiques, Classe : Pre D 2 / 2 ©Lycée TSF MONGO Joseph Janvier 2018 uploads/Ingenierie_Lourd/ 1ered-seq3-2 1 .pdf