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Minist` ere des enseignements secon- daires Lyc´ ee classique de Mfou Ann´ ee s

Minist` ere des enseignements secon- daires Lyc´ ee classique de Mfou Ann´ ee scolaire 2005/2006 Baccalaur´ eat blanc Epreuve de Math´ ematiques s´ erie C Dur´ e´ e :4H co´ eﬃcient : 5 Examinateur : Mbang Joseph Exercice 1 (Suites arithm´ etiques)(4 points) On consid` ere la suite (Un) d’entiers naturels d´ eﬁnie par : ½ u0 = 14 un+1 = 5un −6, pour tout entier naturel n 1) Calculer U1, U2, U3 et U4. (0,5 pt) Quelle conjecture peut - on ´ emettre concernant les deux derniers chiﬀres de Un ? (0,25 pt) 2) a) Montrer que pour tout entier naturel n, Un+2 ≡Un (modulo 4). (0,5 pt) b) En d´ eduire que pour tout entier naturel k, U2k ≡2 (modulo 4) (0,5 pt) c) Montrer par r´ ecurrence que, pour tout entier naturel n, 2Un = 5n+2 + 3. (0,5 pt) d) En d´ eduire que, pour tout entier naturel n, 2Un ≡28 (modulo 100). (0,5 pt) 3) D´ eterminer les deux derniers chiﬀres de l’´ ecrirure d´ ecimale de Un suivant les valeurs de n. (0,5 pt) 4) Montrer que le PGCD de deux termes cons´ ecutifs de la suite Un est constant. (0,5 pt) Exercice 2 (Probabilit´ es - Applications lin´ eaires))(5 points) I. Soit n un nombre entier sup´ erieur ` a 1. On consid` ere une urne dans laquelle se trouvent : – Une boule portant le num´ ero 1. – Deux boules portant le num´ ero 2. – Trois boules portant le num´ ero 3. etc......... – n boules portant le num´ ero n. 1) Combien l’urne contient - elle de boules ? (0,5 pt) 2) On tire au hasard une boule dans l’urne, tous les tirages sont suppos´ es ´ equiprobables. a) On suppose dans cette question que n est pair. Exprimer en fonction de n la probabilit´ e pour que la boule tir´ ee porte – Un num´ ero pair. (0,5 pt) – Un num´ ero impair. (0,5 pt) b) Dans cette question, on suppose seulement que le nombre total de boules dans l’urne est 21. Quelle est la probabilit´ e pour que la boule tir´ ee porte un num´ ero strictement sup´ erieur ` a 4. (0,5 pt) II. E est un plan vectoriel r´ eel et f un endomorphisme de E tel que Kerf = Imf. 1) Justiﬁer que Ker f et Im f sont des droites vectorielles. (0,5 pt) 1 2) Soit ⃗ i un vecteur non nul de Ker f. Montrer qu’il existe un vecteur non nul ⃗ j tel que l’on ait f( ⃗ i) = ⃗ j. (0,5 pt) 3) a) Montrer que ( ⃗ i,⃗ j) est une base de E. (0,5 pt) b) Quelle est la matrice de f dans la base ( ⃗ i,⃗ j) ? (0,5 pt) c) Montrer que fof est l’endomorphisme nul de E. (0,5 pt) PROBLEME (11 points) Partie A : Applications dans l’espace(2, 5 points) Soit (Π) le plan d’´ equation 2x + y −z = 3 et (△) la droite orthogonale ` a (Π) passant par O. 1) D´ eterminer une repr´ esentation param´ etrique de la droite (△). (0,5 pt) 2) D´ eterminer l’expression analytique des transformations suivantes : a) reﬂexion SΠ (0,5 pt) b) demi - tour S△ (0,5 pt) c) SΠoS△ (0,5 pt) 3) D´ eterminer la nature et les ´ el´ ements caract´ eristiques de la transformation SΠoS△. (0,5 pt) Partie B : (Equations diﬀ´ erentielles - Coniques - Calcul de volume et d’aire)(5 points) 1) a) R´ esourdre dans R l’´ equation diﬀ´ erentielle (E) : y” + 4y = 0. (0,5 pt) b) D´ eterminer les solutions u et v de (E) telles que u(0) = 2 ; u ′(0) = 0 et v(0) = 0, v ′(0) = 6. (0,5 pt). Soit (E) la courbe de repr´ esentation param´ etrique ½ x = u(θ) y = v(θ), θ ∈R c) Ecrire une relation entre x et y ind´ ependante de θ. En d´ eduire la nature de (E) et ses ´ el´ ements caract´ eristiques. (0,75 pt) 2) Soit (Γ) l’ensemble des points M(x, y) du plan d´ eﬁni par l’´ equation 13x2 + 14y2 + 10xy = 144 dans le rep` ere orthonorm´ e (O,⃗ i,⃗ j). Soit f la similitude directe d’´ equation complexe Z ′ = 1 2(1 −i)Z a) D´ eterminer l’´ equation de (Γ ′) image de (Γ) par f. (0,5 pt) b) D´ eterminer la nature de (Γ), son centre, son axe focal, ses foyers et son excentricit´ e. (0,75 pt) 3) On consid` ere le solide (P) obtenu en faisant tourner (Γ) autour de (Ox). Calculer le volume V de (P) en u.v. 4) On poseF(x) = R 2sinx 0 √ 4 −t2dt. a) Calculer F(0). (0,25 pt) b) Soit A l’aire de (Γ ′) en u.a. Montrer que A = 6F(π 2). (0,5 pt) c) Calculer F ′(x) et en d´ eduire une formule explicite de F(x) sur [0, π 2]. (0,5 pt) d) V´ eriﬁer que A = 6πua. (0,5 pt) Partie C : (Fonction exponentielle et suites)(3, 5 points) Soit g la fonction num´ erique d´ eﬁnie sur R par g(x) = (x + 1)e −x 2 . 2 1) Montrer que l’´ equation g(x) = x admet sur R+une unique solution α telle que 1 ≤α ≤ 2.(0, 75pt). 2) Montrer que pour tout x positif |g ′(x)| ≤1 2. (0,5 pt) Soit (Vn) la suite d´ eﬁnie par : ½ V0 = 0 Vn+1 = g(Vn) n ≥0 2) a) D´ emontrer que pour tout entier naturel n, Vn ≥0. (0,5 pt) b) D´ emontrer que pour tout entier naturel n, |Vn+1 −α| ≤1 2|Vn −α|. (0, 5pt). c) En d´ eduire que pour tout entier naturel n, |Vn −α| ≤ 1 2n. (0,5 pt). d) D´ eterminer limite de Vn quand n tend vers l’inﬁnie et en d´ eduire une valeur approch´ ee de α ` a 10−6 pr` es. (0,75 pt). BON TRAVAIL 3 uploads/Ingenierie_Lourd/ bac-blanc-serie-c-lycee-de-mfou-2005-2006.pdf