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Lycée : EL ALIA A scolaire (16-17) : Devoir de contrôle n°1 4maths2 Prof : Lahb

Lycée : EL ALIA A scolaire (16-17) : Devoir de contrôle n°1 4maths2 Prof : Lahbib Mohamed Durèe :2h Exercice1 : (5,5 points) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O,u  ,v ). 1) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que z z soit réel. 2) On considère les points M, N et Q d’affixes respectives, z, z et 2 z z a) Vérifier que Q M N M z z z z − − = - z z b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que M, N et Q soient alignés 3) Résoudre dans l’équation : 2 2i z 2i z -(1-e ) θ − =0 ou’ ]0 , [ θ π ∈ 4) On pose M d’affixe z = i (1- i e θ ) a) Ecrire z sous la forme exponentielle b) Déterminer en fonction deθ , une mesure de l’angle orienté ( MN   , MQ   ). c) Déterminer alors θ pour que le triangle MNQ soit équilatéral Exercice2 : ( 7,5points) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O,u  ,v ),on désigne par A et B les points d’affixes respectives : 1 et -1 A tout point M d’affixe z ≠-1 ,on associe le point M’ d’affixe z’ = z-1 z+1 1) a- Montrer que z’ est imaginaire pure si et seulement si z =1 b- Montrer que pour tout point M distinct de B : ( AB   , AM'   ) ≡ - (BA   , BM   ) [ ] 2π . 2) a- Déterminer et construire l’ensemble ∆des points M du plan d’affixe z tel que : arg (z+1) [ ] 2 3 π π ≡ b- ∆ recoupe le cercle ς de centre O et de rayon 1 au point M d’affixe z ,déduire de ce qui précède une construction du point M’ d’affixe z’ 3) a-Résoudre dans l’équation : 2 z z + 1 − =0 et mettre les solutions sous la forme exponentielle. b- En déduire les solutions dans de l’équation : 6 3 z z + 1 − = 0 ( on donnera les solutions sous la forme exponentielle) 4) a- Montrer que pour tout réel 2 ,k k θ π ≠ ∈ : z’ = eiθ si et seulement si z = i cotan( 2 θ ) b- En déduire les solutions dans de l’équation : 3 3 z-1 z+1 + z+1 z-1             = 1 Exercice3 : ( 7points) 1) Pour tout n ∈ * on pose Sn n 1 1 k k = ∑ = a- Calculer S1 et S b- Montrer que pour tout n 2 ∈ * , Sn n ≥ ; en déduire n + lim →∞S 2) On considère les suites ( U n n) et ( Vn *  ) définies sur par Un n 2 n - S = et Vn = Un 1 n + Calculer U2 et V 3) a- Vérifier que : 2 ( ) 2 n+1 - n = 2n+1 - 2 n(n+1) b-Montrer que la suite U est croissante 4) Montrer que la suite V est décroisante 5) a- Montrer que les deux suites U et V convergent vers la même limite L b-Montrer que : 3 2 - 1 2  ≤       L (2 2 - 1) ≤ Bonne Chance uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n01-math-bac-mathematiques-2016-2017-mr-lahbib-mohamed.pdf